Demonstre as equacoes:
\mu_{0} \varepsilon_{0}=\frac{1}{c^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no vácuo, o produto da permissividade elétrica \varepsilon_{0} pela permeabilidade magnética \mu_{0} é o inverso do quadrado da velocidade da luz c. Para isso, vamos usar as equações de Maxwell em vácuo e derivar a equação de onda para o campo elétrico \mathbf{E}.

Passo 2

Escrevemos a lei de Faraday em vácuo:
\nabla\times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
e lembramos que, em vácuo, \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{H}. Logo,
\nabla\times \mathbf{E} = -\mu_{0}\,\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}.

Passo 3

Aplicamos o operador rotacional novamente em ambos os lados:
\nabla\times(\nabla\times \mathbf{E}) = -\mu_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times \mathbf{H}\bigr).

Passo 4

Usamos a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times \mathbf{E}) =\nabla(\nabla\cdot \mathbf{E}) - \nabla^{2}\mathbf{E}
e, em vácuo, não há carga livre, então \nabla\cdot \mathbf{E}=0. Assim,
\nabla\times(\nabla\times \mathbf{E}) = -\nabla^{2}\mathbf{E}.

Passo 5

Da lei de Ampère–Maxwell em vácuo temos
\nabla\times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}
e, em vácuo, \mathbf{D} = \varepsilon_{0}\mathbf{E}. Logo,
\nabla\times \mathbf{H} = \varepsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Passo 6

Substituindo esse resultado em

Passo 7

-\nabla^{2}\mathbf{E} = -\mu_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\Bigr) = -\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.
Cancelando o sinal “ -)”, temos
\nabla^{2}\mathbf{E} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.

Passo 8

Reconhecemos a forma padrão da equação de onda tridimensional,
\nabla^{2}\mathbf{E} = \frac{1}{v^{2}}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}},
onde v é a velocidade de propagação da onda. Comparando os dois resultados, segue-se
\frac{1}{v^{2}} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0} \quad\Longrightarrow\quad v^{2} = \frac{1}{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}.

Passo 9

Sabemos experimentalmente e teoricamente que as ondas eletromagnéticas no vácuo se propagam com a velocidade da luz, isto é, v = c. Portanto,
c^{2} = \frac{1}{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad \mu_{0}\,\varepsilon_{0} = \frac{1}{c^{2}}.

Resposta

\mu_{0}\,\varepsilon_{0} = \dfrac{1}{c^{2}}

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