Demonstre as equacoes:
\frac{\partial^{2} \vec{B}(x, t)}{\partial x^{2}}=\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} \vec{B}(x, t)}{\partial t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num meio livre de cargas e correntes, a componente \vec{B}(x,t) do campo magnético satisfaz a equação de onda unidimensional
\frac{\partial^{2}\vec{B}(x,t)}{\partial x^{2}} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\vec{B}(x,t)}{\partial t^{2}}.
Para isso, vamos usar as equações de Maxwell no vácuo e a identidade vetorial
\nabla\times\bigl(\nabla\times \mathbf{A}\bigr) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{A}) - \nabla^{2}\mathbf{A}.

Passo 2

Em vácuo, sem fontes, as equações de Maxwell relevantes são
\nabla\times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times \mathbf{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},
\nabla\cdot \mathbf{B} = 0.

Passo 3

Aplicamos o operador \nabla\times na equação de Ampère–Maxwell
\nabla\times\bigl(\nabla\times \mathbf{B}\bigr) = \nabla\times\Bigl(\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\Bigr).

Passo 4

Pela identidade vetorial e usando \nabla\cdot \mathbf{B}=0, o lado esquerdo vira
\nabla(\nabla\cdot \mathbf{B}) - \nabla^{2}\mathbf{B} = -\,\nabla^{2}\mathbf{B}.
No lado direito podemos trocar a ordem de circulação e derivação temporal:
\nabla\times\Bigl(\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\Bigr) = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times \mathbf{E}\bigr).

Passo 5

Substituindo \nabla\times \mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t (lei de Faraday), obtemos
-\,\nabla^{2}\mathbf{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial}{\partial t}\Bigl(-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\Bigr) = -\,\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}}.

Passo 6

Cancelando o sinal “ -)” em ambos os lados, chega-se à forma geral da equação de onda para o campo magnético:
\nabla^{2}\mathbf{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}}.

Passo 7

Se a propagação ocorre apenas na direção x, o laplaciano reduz-se a \partial^{2}/\partial x^{2} e então
\frac{\partial^{2}\vec{B}(x,t)}{\partial x^{2}} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\vec{B}(x,t)}{\partial t^{2}}.

Resposta

\frac{\partial^{2}\vec{B}(x,t)}{\partial x^{2}} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\vec{B}(x,t)}{\partial t^{2}}.

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