A densidade de corrente elétrica, vec{J}, no interior de um fio cilíndrico longo, de raio a=3,50 \mathrm{~mm}, é paralela ao eixo central do cilindro e seu módulo varia com a distância radial r de acordo com a ex- pressão J=J_{0} r^{3 / 2} / a, onde J_{0}=390 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determine o módulo do campo magnético gerado por essa distribuição de corrente elétrica em um ponto (a) r=5 a / 4 e (b) em r=a / 4.

Passo 1

O enunciado nos dá um fio cilíndrico de raio a onde a densidade de corrente é
J(r)=J_0\,\frac{r^{3/2}}{a},
paralela ao eixo. Queremos o módulo do campo magnético \mathbf{B} em dois pontos radiais: (a) r=\tfrac{5a}{4} (fora do fio) e (b) r=\tfrac{a}{4} (dentro do fio). Vamos usar a Lei de Ampère, que em simetria cilíndrica dá
B(r)\,2\pi r=\mu_0\,I_{\text{enc}}(r),
onde I_{\text{enc}}(r) é a corrente que atravessa o círculo de raio r.

Passo 2

Calcular a corrente envolvida até um raio r\le a. Temos
I_{\text{enc}}(r) =\int_{0}^{r}J(r')\,2\pi r'\,dr' =2\pi\,\frac{J_0}{a}\int_{0}^{r}{r'}^{5/2}\,dr' =2\pi\,\frac{J_0}{a}\,\frac{2}{7}r^{7/2} =\frac{4\pi J_0}{7a}\,r^{7/2}.

Passo 3

Para r>a toda a corrente do fio (até r=a) está envolvida. Logo o total é
I_{\mathrm{total}} =I_{\text{enc}}(a) =\frac{4\pi J_0}{7a}\,a^{7/2} =\frac{4\pi J_0\,a^{5/2}}{7}.

Passo 4

Expressar B(r) em termos de I_{\text{enc}}. Da Lei de Ampère,
B(r)=\frac{\mu_0\,I_{\text{enc}}(r)}{2\pi r}.

Passo 5

Caso (a): r=\tfrac{5a}{4}>a. Usa-se I_{\text{enc}}=I_{\mathrm{total}}. Então
B\bigl(\tfrac{5a}{4}\bigr) =\frac{\mu_0}{2\pi\,(5a/4)}\, \frac{4\pi J_0\,a^{5/2}}{7} =\frac{2\mu_0 J_0\,a^{5/2}}{7\,(5a/4)} =\frac{8}{35}\,\mu_0\,J_0\,a^{3/2}.

Passo 6

Caso (b): r=\tfrac{a}{4}<a. Usa-se I_{\text{enc}}(r)=\tfrac{4\pi J_0}{7a}\,r^{7/2}. Logo
B\bigl(\tfrac{a}{4}\bigr) =\frac{\mu_0}{2\pi\,(a/4)}\, \frac{4\pi J_0}{7a}\,\Bigl(\frac{a}{4}\Bigr)^{7/2} =\frac{2\mu_0 J_0}{7a}\,\frac{(a/4)^{7/2}}{(a/4)} =\frac{2\mu_0 J_0}{7a}\,\frac{a^{5/2}}{4^{5/2}} =\frac{\mu_0\,J_0\,a^{3/2}}{112}.

Resposta

(a)
B\Bigl(\tfrac{5a}{4}\Bigr) =\frac{8}{35}\,\mu_{0}\,J_{0}\,a^{3/2} \approx2{,}3\times10^{-8}\,\mathrm{T}.
(b)
B\Bigl(\tfrac{a}{4}\Bigr) =\frac{1}{112}\,\mu_{0}\,J_{0}\,a^{3/2} \approx9{,}1\times10^{-10}\,\mathrm{T}.

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