Determine
\Delta_{v a p} \bar{H} da água. Considere que a pressão de vapor da água corresponde a 529 Torr em T=363 K e 760 Torr em T=373 K.
R=8,314 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~mol} . \mathrm{K}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \Delta_{vap}\bar{H} (entalpia molar de vaporização) da água, usando os dados abaixo. Informações dadas:
  • pressão de vapor em T=363\\ \mathrm{K}: P_1 = 529\\ \mathrm{Torr} (valor retirado do enunciado);
  • pressão de vapor em T=373\\ \mathrm{K}: P_2 = 760\\ \mathrm{Torr} (valor retirado do enunciado);
  • constante universal dos gases: R = 8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
    O que se deseja: calcular \Delta_{vap}\bar{H} usando esses pares (P,T).

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A equação de Clausius–Clapeyron relaciona a variação da pressão de vapor com a temperatura e a entalpia de vaporização. Na forma diferencial simplificada ela é
\frac{d\ln P}{dT}=\frac{\Delta_{vap}\bar{H}}{R\,T^{2}},
onde:
  • P é a pressão de vapor (qualquer unidade, desde que consistente ao formar razões);
  • T é a temperatura em kelvin;
  • \Delta_{vap}\bar{H} é a entalpia molar de vaporização (o que queremos);
  • R é a constante dos gases ( 8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}).
    Assumimos que \Delta_{vap}\bar{H} é aproximadamente constante entre T_1 e T_2 (aproximação usual quando a variação de temperatura não é muito grande). Integrando entre os dois pontos obtemos a forma integrada prática:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -\frac{\Delta_{vap}\bar{H}}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Esta fórmula é muito útil na prova: ela relaciona a razão de pressões com a diferença dos recíprocos das temperaturas e permite obter \Delta_{vap}\bar{H} isolando-a.

Passo 3

Isolando \Delta_{vap}\bar{H} na fórmula integrada:
\Delta_{vap}\bar{H} = -R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)}{\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)}.
Obs.: como usamos a razão \dfrac{P_2}{P_1}, as unidades de pressão (Torr, Pa, atm…) cancelam — portanto é correto usar Torr diretamente.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos:
P_1 = 529\\ \mathrm{Torr},\quad T_1=363\\ \mathrm{K},
P_2 = 760\\ \mathrm{Torr},\quad T_2=373\\ \mathrm{K},
R = 8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Calculemos a razão de pressões e seu logaritmo natural:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{760}{529}\approx 1,437\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx 0,362.

Passo 5

Calculamos a diferença dos recíprocos das temperaturas:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{373}-\frac{1}{363} =\frac{363-373}{373\cdot 363}=\frac{-10}{373\cdot 363}.
Como 373\cdot 363=135399, temos
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{-10}{135399}\approx -7{,}385\times 10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 6

Agora calculamos o numerador -R\ln(P_2/P_1) e dividimos pelo denominador:
-R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -8{,}314\times 0{,}362 \approx -3{,}010\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Dividindo por \left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)\approx -7{,}385\times 10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}:
\Delta_{vap}\bar{H} \approx \frac{-3{,}010}{-7{,}385\times 10^{-5}} \approx 4,08\times 10^{4}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Convertendo para unidades mais usuais:
\Delta_{vap}\bar{H} \approx 40{,}8\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
(Pequenas diferenças nas cifras decimais vêm da aproximação numérica de \ln e do arredondamento; o valor esperado próximo ao ponto de ebulição é cerca de 40{,}7\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}, então o resultado está coerente.)

Resposta

\Delta_{vap}\bar{H} \approx 4,08\times10^{4}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}

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