Demonstre e explique a relação
a=-v^2R widehatn
para a aceleração centrípeta num movimento circular uniforme usando argumentos geométricos, explicando os termos.

Passo 1

A questão pede para mostrar, via raciocínio geométrico, que num movimento circular uniforme a aceleração é dada por a=-v^2R,n. O conteúdo envolve cinemática vetorial, definição de velocidade em torno de um círculo de raio R e a interpretação geométrica da variação do vetor velocidade.

Passo 2

Para começar, vamos lembrar que em movimento circular uniforme a partícula descreve uma circunferência de raio R com rapidez constante v. O vetor velocidade v(t) é sempre tangente à trajetória e seu módulo não muda, mas sua direção gira com velocidade angular omega=vR.

Passo 3

Considere dois instantes separados por um intervalo de tempo muito pequeno De. Nos instantes t e t+De, os vetores velocidade têm mesma magnitude v e direções separadas por um ângulo De. Desenhando-os a partir de uma origem comum, formamos um triângulo isósceles.

Passo 4

A variação do vetor velocidade é De. Geometricamente, em um triângulo isósceles de lados v e ângulo no vértice De, o comprimento do lado que fecha o triângulo (a corda) é 2vsin(tfracDe. Para ângulos muito pequenos temos sin(tfracDe, logo
|De

Passo 5

Dividindo pela variação de tempo, a aceleração média é
|De

Passo 6

Quanto à direção, note que o vetor De aponta para dentro da circunferência, isto é, no sentido oposto ao vetor radial unitário n (que aponta para fora). Assim, a aceleração instantânea é
a=limDe

Passo 7

Explicando os termos: • v é a velocidade escalar (rapidez) constante. • R é o raio da trajetória circular. • n é o vetor unitário radial que aponta para fora do centro. O sinal negativo indica que a aceleração está voltada para o centro da curva, daí o nome “centrípeta”.

Resposta

a=-v^2R,n

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