Demonstre e explique a relação
para a aceleração centrípeta num movimento circular uniforme usando argumentos geométricos, explicando os termos.
Passo 1
A questão pede para mostrar, via raciocínio geométrico, que num movimento circular uniforme a aceleração é dada por
. O conteúdo envolve cinemática vetorial, definição de velocidade em torno de um círculo de raio
e a interpretação geométrica da variação do vetor velocidade.
Passo 2
Para começar, vamos lembrar que em movimento circular uniforme a partícula descreve uma circunferência de raio
com rapidez constante
. O vetor velocidade
é sempre tangente à trajetória e seu módulo não muda, mas sua direção gira com velocidade angular
.
Passo 3
Considere dois instantes separados por um intervalo de tempo muito pequeno
. Nos instantes
e
, os vetores velocidade têm mesma magnitude
e direções separadas por um ângulo
. Desenhando-os a partir de uma origem comum, formamos um triângulo isósceles.
Passo 4
A variação do vetor velocidade é
. Geometricamente, em um triângulo isósceles de lados
e ângulo no vértice
, o comprimento do lado que fecha o triângulo (a corda) é
. Para ângulos muito pequenos temos
, logo
Passo 5
Dividindo pela variação de tempo, a aceleração média é
Passo 6
Quanto à direção, note que o vetor
aponta para dentro da circunferência, isto é, no sentido oposto ao vetor radial unitário
(que aponta para fora). Assim, a aceleração instantânea é
Passo 7
Explicando os termos: •
é a velocidade escalar (rapidez) constante. •
é o raio da trajetória circular. •
é o vetor unitário radial que aponta para fora do centro. O sinal negativo indica que a aceleração está voltada para o centro da curva, daí o nome “centrípeta”.