(Exemplo 5.1, Marion e Thornton) Qual é o potencial gravitacional tanto dentro como fora de uma camada esférica de raio interno b e raio externo a ?

Passo 1

O enunciado pede o potencial gravitacional de uma camada esférica de raio interno b e raio externo a, de massa total M, em função da distância r ao centro, tanto fora da casca quanto dentro (incluindo a cavidade interna). O conteúdo é potencial gravitacional em simetria esférica, e vamos usar o Teorema de Newton e o princípio de superposição.

Passo 2

Primeiro calculamos a densidade volumétrica rho da camada uniforme e definimos as massas associadas a esferas de raios a e b:
rho=3M4pil(a^3-b^3r),
Mb=43pi,rho,b^3
Para uma esfera sólida de raio R e densidade rho já sabemos:
  • Para r<= R:
phiint(r)=-2pi Grhol(R^2-r^23r)
  • Para r>= R:
phiext(r)=-G MRr, MR=tfrac43pirho R^3

Passo 3

Para r>= a estamos fora de ambas as “esferas” (a de raio a e a de raio b removida), de modo que a massa total efetiva é M. Assim
phi(r)=-GMr, r>= a

Passo 4

Para b<= r<= a usamos superposição: potencial da esfera sólida de raio a (no interior) menos o potencial externo da esfera interna de raio b (que está removida). Como essa remoção inverte o sinal, obtemos:
phi(r)=phiint,a(r) + G Mbr
Substituindo phiint,a(r)=-2pi Grhol(a^2-tfracr^23r) e Mb=tfrac43pirho b^3, segue após simplificação:
phi(r)=GM2l(a^3-b^3r)l(r^2-3a^2+2b^3rr), b<= r<= a

Passo 5

Para r<= b o campo gravitacional é zero pela casca interna, logo o potencial é constante e igual ao valor em r=b. Usando o resultado anterior em r=b achamos
phi(r)=phi(b)=3GM2l(a^3-b^3r)l(b^2-a^2r), r<= b

Resposta

Para uma camada esférica de massa total M, raio interno b e raio externo a, o potencial gravitacional é:
  • Fora da camada ( r>= a):
phi(r)=-GMr
  • Dentro da espessura da camada ( b<= r<= a):
phi(r)=GM2l(a^3-b^3r)l(r^2-3a^2+2b^3rr)
  • Na cavidade interna ( r<= b):
phi(r)=3GM2l(a^3-b^3r)l(b^2-a^2r)

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