(Exemplo 5.1, Marion e Thornton) Qual é o potencial gravitacional tanto dentro como fora de uma camada esférica de raio interno
e raio externo
?
Passo 1
O enunciado pede o potencial gravitacional de uma camada esférica de raio interno
e raio externo
, de massa total
, em função da distância
ao centro, tanto fora da casca quanto dentro (incluindo a cavidade interna). O conteúdo é potencial gravitacional em simetria esférica, e vamos usar o Teorema de Newton e o princípio de superposição.
Passo 2
Primeiro calculamos a densidade volumétrica
da camada uniforme e definimos as massas associadas a esferas de raios
e
:
Para uma esfera sólida de raio
e densidade
já sabemos:
- Para
:
- Para
:
Passo 3
Para
estamos fora de ambas as “esferas” (a de raio
e a de raio
removida), de modo que a massa total efetiva é
. Assim
Passo 4
Para
usamos superposição: potencial da esfera sólida de raio
(no interior) menos o potencial externo da esfera interna de raio
(que está removida). Como essa remoção inverte o sinal, obtemos:
Substituindo
e
, segue após simplificação:
Passo 5
Para
o campo gravitacional é zero pela casca interna, logo o potencial é constante e igual ao valor em
. Usando o resultado anterior em
achamos
Resposta
Para uma camada esférica de massa total
, raio interno
e raio externo
, o potencial gravitacional é:
- Fora da camada (
):
- Dentro da espessura da camada (
):
- Na cavidade interna (
):