Demonstre a expressão da velocidade relativa, onde v é a velocidade de uma partícula em relação ao referencial S, v^{\prime} é a velocidade da partícula em relação ao referencial S^{\prime} e V é a velocidade de S^{\prime} em relação a S.
\tan \theta^{\prime}=\frac{\sin \theta}{\gamma(\cos \theta-v / u)}

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre uma relação entre o ângulo \theta que a velocidade de uma partícula faz com o eixo x no referencial S e o ângulo \theta' que a mesma velocidade faz no referencial S', onde S' se movimenta com velocidade v em relação a S ao longo do eixo x. Vou listar claramente os dados que usarei:
  • A partícula tem velocidade de módulo u no referencial S e forma um ângulo \theta com o eixo x de S.
  • O referencial S' se move com velocidade v ao longo do eixo x em relação a S.
  • Denota-se por \gamma o fator de Lorentz associado a v:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
  • O objetivo é mostrar que
\tan \theta^{\prime}=\frac{\sin \theta}{\gamma\bigl(\cos \theta-\dfrac{v}{u}\bigr)}.

Passo 2

Primeiro vou escrever as componentes da velocidade da partícula no referencial S. Se o módulo da velocidade é u e o ângulo com o eixo x é \theta, então as componentes são:
u_x = u\cos\theta,\qquad u_y = u\sin\theta.
Estas são definições geométricas diretas: a componente x é o comprimento projetado sobre x, a componente y é a projeção sobre y.

Passo 3

Agora preciso das fórmulas de transformação de velocidades relativísticas (essas fórmulas vêm da transformação de Lorentz para deslocamentos e tempos). Considere um pequeno deslocamento da partícula em S: dx=u_x\,dt e dy=u_y\,dt. As transformações de Lorentz (para um quadro S' movendo-se a velocidade v em x relativa a S) dão:
dx'=\gamma\bigl(dx-v\,dt\bigr),\qquad dy'=dy,\qquad dt'=\gamma\Bigl(dt-\frac{v\,dx}{c^{2}}\Bigr).
Essas fórmulas são a base: transformam deslocamentos e tempos entre os referenciais.

Passo 4

A velocidade da partícula em S' tem componentes u'_x=dx'/dt' e u'_y=dy'/dt'. Vou calcular u'_x usando as expressões de dx' e dt':
u'_x=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\gamma\bigl(dx-v\,dt\bigr)}{\gamma\bigl(dt-\dfrac{v\,dx}{c^{2}}\bigr)}=\frac{dx-v\,dt}{dt-\dfrac{v\,dx}{c^{2}}}.
Substituindo dx=u_x\,dt obtemos
u'_x=\frac{u_x\,dt-v\,dt}{dt-\dfrac{v\,u_x\,dt}{c^{2}}}=\frac{u_x-v}{1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}}.
Portanto, a transformação da componente x é
u'_x=\frac{u_x-v}{1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}}.

Passo 5

Agora calculo u'_y. Usando dy'=dy e dt' acima:
u'_y=\frac{dy'}{dt'}=\frac{dy}{\gamma\bigl(dt-\dfrac{v\,dx}{c^{2}}\bigr)}.
Substituindo dy=u_y\,dt e dx=u_x\,dt resulta
u'_y=\frac{u_y\,dt}{\gamma\bigl(dt-\dfrac{v\,u_x\,dt}{c^{2}}\bigr)}=\frac{u_y}{\gamma\Bigl(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\Bigr)}.
Assim a componente y transforma-se como
u'_y=\frac{u_y}{\gamma\Bigl(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\Bigr)}.

Passo 6

O ângulo \theta' no referencial S' satisfaz \tan\theta'=\dfrac{u'_y}{u'_x}. Usando as fórmulas encontradas para u'_x e u'_y:
\tan\theta'=\frac{\dfrac{u_y}{\gamma\bigl(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\bigr)}}{\dfrac{u_x-v}{1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}}} =\frac{u_y}{\gamma\bigl(u_x-v\bigr)}.
Observe que o fator \bigl(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\bigr) cancela entre numerador e denominador — isso simplifica bastante a expressão.

Passo 7

Finalmente substituo u_x=u\cos\theta e u_y=u\sin\theta na expressão anterior:
\tan\theta'=\frac{u\sin\theta}{\gamma\bigl(u\cos\theta-v\bigr)}.
Dividindo numerador e denominador por u obtemos a forma desejada:
\tan\theta'=\frac{\sin\theta}{\gamma\bigl(\cos\theta-\dfrac{v}{u}\bigr)}.
Essa é a demonstração procurada. Intuitivamente: a componente transversal sofre uma diluição pelo fator \gamma combinado com a diferença entre a componente longitudinal da velocidade do corpo e a velocidade do quadro; esse é o motivo do denominador aparecer com \gamma(\cos\theta-v/u).

Resposta

\tan \theta^{\prime}=\frac{\sin \theta}{\gamma\bigl(\cos \theta-\dfrac{v}{u}\bigr)}.

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