Demonstre a expressão da velocidade relativa, onde
é a velocidade de uma partícula em relação ao referencial
é a velocidade da partícula em relação ao referencial
e
é a velocidade de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre uma relação entre o ângulo
que a velocidade de uma partícula faz com o eixo
no referencial
e o ângulo
que a mesma velocidade faz no referencial
, onde
se movimenta com velocidade
em relação a
ao longo do eixo
. Vou listar claramente os dados que usarei:
- A partícula tem velocidade de módulo
no referencial e forma um ângulo com o eixo de . - O referencial
se move com velocidade ao longo do eixo em relação a . - Denota-se por
o fator de Lorentz associado a :
- O objetivo é mostrar que
Passo 2
Primeiro vou escrever as componentes da velocidade da partícula no referencial
. Se o módulo da velocidade é
e o ângulo com o eixo
é
, então as componentes são:
Estas são definições geométricas diretas: a componente
é o comprimento projetado sobre
, a componente
é a projeção sobre
.
Passo 3
Agora preciso das fórmulas de transformação de velocidades relativísticas (essas fórmulas vêm da transformação de Lorentz para deslocamentos e tempos). Considere um pequeno deslocamento da partícula em
:
e
. As transformações de Lorentz (para um quadro
movendo-se a velocidade
em
relativa a
) dão:
Essas fórmulas são a base: transformam deslocamentos e tempos entre os referenciais.
Passo 4
A velocidade da partícula em
tem componentes
e
. Vou calcular
usando as expressões de
e
:
Substituindo
obtemos
Portanto, a transformação da componente
é
Passo 5
Agora calculo
. Usando
e
acima:
Substituindo
e
resulta
Assim a componente
transforma-se como
Passo 6
O ângulo
no referencial
satisfaz
. Usando as fórmulas encontradas para
e
:
Observe que o fator
cancela entre numerador e denominador — isso simplifica bastante a expressão.
Passo 7
Finalmente substituo
e
na expressão anterior:
Dividindo numerador e denominador por
obtemos a forma desejada:
Essa é a demonstração procurada. Intuitivamente: a componente transversal sofre uma diluição pelo fator
combinado com a diferença entre a componente longitudinal da velocidade do corpo e a velocidade do quadro; esse é o motivo do denominador aparecer com
.