Mostre que a constante \gamma deve ser dada pela equação
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},
para que a equação x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^{2} t^{\prime 2} se transforme na equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2} t^{2}, como exige o primeiro postulado de Einstein. (Considere a correção da transformação de Galileu pelo fator \gamma)

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo bem claro):
  • Está dada a equação da superfície de onda de luz no referencial primado:
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^{2}t^{\prime 2}.
  • Exige-se que, após aplicar a transformação de coordenadas entre referenciais (o que seria a “correção” da transformação de Galileu pelo fator \gamma), esta equação seja transformada na mesma forma no referencial não primado:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}.
  • Sabe-se que a transformação espacial ao longo do eixo x é corrigida pelo fator \gamma no sentido clássico, ou seja, espera-se algo do tipo
x'=\gamma(x-vt),\qquad y'=y,\qquad z'=z,
onde v é a velocidade relativa dos referenciais e c é a velocidade da luz.
  • O que precisamos mostrar: determinar o valor de \gamma (em função de v e c) que torna a equação da superfície de luz invariante entre os referenciais.

Passo 2

Escolhendo uma forma geral e linear para a transformação do tempo (por simetria e linearidade esperadas entre referenciais inerciais), posamos
t'=\gamma\bigl(t-\alpha x\bigr),
onde \alpha é uma constante a determinar (pode depender de v e c).
Explicação didática: estamos assumindo transformações lineares porque queremos que origem, homogeneidade e isotropia do espaço-tempo sejam preservadas e porque a transformação de Galileu é linear; a correção com \gamma deve manter linearidade. A forma \gamma(t-\alpha x) inclui o fator \gamma já presente em x' para garantir simetria entre espaço e tempo nas transformações.
Resumo das transformações assumidas:
x'=\gamma(x-vt),\qquad y'=y,\qquad z'=z,\qquad t'=\gamma(t-\alpha x).

Passo 3

Vamos impor a condição de invariância da superfície de luz: substituir as transformações em
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^{2}t^{\prime 2}
e exigir que o resultado seja equivalente à
x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}
para todos os x,t (e y,z triviais). Como y'=y e z'=z, basta exigir
x^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}=x^{2}-c^{2}t^{2}.
Substituindo x' e t':
\gamma^{2}\bigl(x-vt\bigr)^{2}-c^{2}\gamma^{2}\bigl(t-\alpha x\bigr)^{2}=x^{2}-c^{2}t^{2}.

Passo 4

Agora expandimos o membro da esquerda passo a passo.
Primeiro expandir (x-vt)^{2}:
(x-vt)^{2}=x^{2}-2vxt+v^{2}t^{2}.
Expandir (t-\alpha x)^{2}:
(t-\alpha x)^{2}=t^{2}-2\alpha xt+\alpha^{2}x^{2}.
Multiplicando por \gamma^{2} e por -c^{2} conforme aparece:
\gamma^{2}\bigl(x^{2}-2vxt+v^{2}t^{2}\bigr)-c^{2}\gamma^{2}\bigl(t^{2}-2\alpha xt+\alpha^{2}x^{2}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
\gamma^{2}\Bigl[x^{2}\bigl(1-c^{2}\alpha^{2}\bigr)+xt\bigl(-2v+2c^{2}\alpha\bigr)+t^{2}\bigl(v^{2}-c^{2}\bigr)\Bigr].
Portanto a condição de invariância torna-se
\gamma^{2}\Bigl[x^{2}\bigl(1-c^{2}\alpha^{2}\bigr)+xt\bigl(-2v+2c^{2}\alpha\bigr)+t^{2}\bigl(v^{2}-c^{2}\bigr)\Bigr]=x^{2}-c^{2}t^{2}.

Passo 5

Para que a igualdade acima valha para todos os x e t, os coeficientes de x^{2}, de xt e de t^{2} em ambos os lados devem coincidir. Igualando coeficientes, obtemos um sistema de três equações:
  1. Coeficiente de x^{2}:
\gamma^{2}\bigl(1-c^{2}\alpha^{2}\bigr)=1.
  1. Coeficiente de xt:
\gamma^{2}\bigl(-2v+2c^{2}\alpha\bigr)=0.
  1. Coeficiente de t^{2}:
\gamma^{2}\bigl(v^{2}-c^{2}\bigr)=-c^{2}.

Passo 6

Resolveremos primeiro a equação (2) porque ela é simples e nos dá \alpha. Da (2):
\gamma^{2}\bigl(-2v+2c^{2}\alpha\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad -v+c^{2}\alpha=0.
Logo
\alpha=\frac{v}{c^{2}}.
Comentário didático: isso mostra que o tempo primado depende linearmente da coordenada espacial x com coeficiente v/c^{2}; essa mistura espaço-tempo é característica da relatividade restrita e é necessária para manter a velocidade da luz invariável.

Passo 7

Agora substituímos \alpha=\dfrac{v}{c^{2}} na equação (1) ou na (3). Usamos (3) para achar \gamma^{2}. Da (3):
\gamma^{2}\bigl(v^{2}-c^{2}\bigr)=-c^{2}.
Reescrever:
\gamma^{2}\bigl(-(c^{2}-v^{2})\bigr)=-c^{2}\quad\Rightarrow\quad \gamma^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}.
Dividindo ambos os lados por c^{2}-v^{2},
\gamma^{2}=\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}.
Fatorando c^{2} no denominador:
\gamma^{2}=\frac{1}{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}.

Passo 8

A partir de \gamma^{2}=\dfrac{1}{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}} tomamos a raiz positiva (escolhemos o sinal positivo porque para v=0 deve-se recuperar \gamma=1 e \gamma deve ser contínua em v):
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Breve interpretação física: \gamma diverge quando v\to c, e para velocidades pequenas v\ll c tem expansão \gamma\approx 1+\tfrac{1}{2}v^{2}/c^{2}+\cdots, isto é, aproxima-se de 1 recuperando as transformações quase galileanas.

Resposta

\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}

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