Mostre que a constante
deve ser dada pela equação
para que a equação
se transforme na equação
, como exige o primeiro postulado de Einstein. (Considere a correção da transformação de Galileu pelo fator
)
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo bem claro):
- Está dada a equação da superfície de onda de luz no referencial primado:
- Exige-se que, após aplicar a transformação de coordenadas entre referenciais (o que seria a “correção” da transformação de Galileu pelo fator
), esta equação seja transformada na mesma forma no referencial não primado:
- Sabe-se que a transformação espacial ao longo do eixo
é corrigida pelo fator no sentido clássico, ou seja, espera-se algo do tipo
onde
é a velocidade relativa dos referenciais e
é a velocidade da luz.
- O que precisamos mostrar: determinar o valor de
(em função de e ) que torna a equação da superfície de luz invariante entre os referenciais.
Passo 2
Escolhendo uma forma geral e linear para a transformação do tempo (por simetria e linearidade esperadas entre referenciais inerciais), posamos
onde
é uma constante a determinar (pode depender de
e
).
Explicação didática: estamos assumindo transformações lineares porque queremos que origem, homogeneidade e isotropia do espaço-tempo sejam preservadas e porque a transformação de Galileu é linear; a correção com deve manter linearidade. A forma
inclui o fator
já presente em
para garantir simetria entre espaço e tempo nas transformações.
Explicação didática: estamos assumindo transformações lineares porque queremos que origem, homogeneidade e isotropia do espaço-tempo sejam preservadas e porque a transformação de Galileu é linear; a correção com
Resumo das transformações assumidas:
Passo 3
Vamos impor a condição de invariância da superfície de luz: substituir as transformações em
e exigir que o resultado seja equivalente à
para todos os
(e
triviais). Como
e
, basta exigir
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora expandimos o membro da esquerda passo a passo.
Primeiro expandir
:
Expandir
:
Multiplicando por
e por
conforme aparece:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto a condição de invariância torna-se
Passo 5
Para que a igualdade acima valha para todos os
e
, os coeficientes de
, de
e de
em ambos os lados devem coincidir. Igualando coeficientes, obtemos um sistema de três equações:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Passo 6
Resolveremos primeiro a equação (2) porque ela é simples e nos dá
. Da (2):
Logo
Comentário didático: isso mostra que o tempo primado depende linearmente da coordenada espacial
com coeficiente
; essa mistura espaço-tempo é característica da relatividade restrita e é necessária para manter a velocidade da luz invariável.
Passo 7
Agora substituímos
na equação (1) ou na (3). Usamos (3) para achar
. Da (3):
Reescrever:
Dividindo ambos os lados por
,
Fatorando
no denominador:
Passo 8
A partir de
tomamos a raiz positiva (escolhemos o sinal positivo porque para
deve-se recuperar
e
deve ser contínua em
):
Breve interpretação física:
diverge quando
, e para velocidades pequenas
tem expansão
, isto é, aproxima-se de 1 recuperando as transformações quase galileanas.