Demonstre que o potencial escalar magnético num ponto sobre o eixo z de uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente elétrica i é dado por:
\varphi(\vec{r})=\frac{1}{2} i\left\{1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que o potencial escalar magnético num ponto sobre o eixo z de uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente i vale
\varphi(\vec{r})=\frac{1}{2} i\left\{1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right\}.
Informações dadas e clarificações do problema:
  • A espira é circular de raio R e está no plano z=0 (centro na origem).
  • A corrente que percorre a espira tem intensidade i.
  • O ponto onde queremos o potencial está sobre o eixo z, a distância z do centro da espira (ou seja, coordenadas (0,0,z)).
  • Precisa-se obter a fórmula explícita de \varphi em função de R, z e i.

Passo 2

Ideia física e fórmula-chave que vamos usar (sem resolver ainda).
  • Em regiões sem corrente elétrica local (ou seja, fora do fio), o campo magnético \mathbf{H} pode ser escrito localmente como \mathbf{H}=-\nabla\varphi, onde \varphi é o potencial escalar magnético. Esse potencial é, em geral, multifacetado quando há correntes fechadas; ele sofre um salto ao atravessar qualquer superfície S cujo contorno seja a espira que carrega a corrente.
  • Existe uma representação prática e muito usada: o valor do potencial escalar magnético em um ponto pode ser tomado proporcional ao ângulo sólido \Omega subtendido por uma superfície S limitada pela espira, vista a partir do ponto. A relação (na convenção usada aqui) é
\varphi(\vec r)=\frac{i}{4\pi}\,\Omega(\vec r),
onde \Omega(\vec r) é o ângulo sólido (em radianos) com sinal, associado à superfície escolhida que tenha a espira como contorno. Essa fórmula é compatível com a condição física de que, ao atravessar a superfície S, o potencial sofre um salto igual a i (porque \Omega salta de 0 para 4\pi), o que concorda com a presença da corrente (essa justificativa liga a fórmula à Lei de Ampère e ao comportamento de \varphi).
  • Portanto, para obter \varphi num ponto sobre o eixo z basta calcular o ângulo sólido \Omega que a superfície limitada pela espira (por exemplo, o disco do interior da espira) subtende no ponto, e então aplicar a relação acima.

Passo 3

Calcular o ângulo sólido \Omega subtendido pelo disco de raio R (o interior da espira) visto a partir de um ponto sobre o eixo a uma distância z.
  • Pense geometricamente: do ponto (0,0,z) saem raios que tocam a circunferência do disco formando um cone cujo eixo é o eixo z e cujo semiângulo (meio-ângulo do cone) chamamos de \alpha.
  • A trigonometria do triângulo formado pelo centro da espira, um ponto da borda e o ponto sobre o eixo dá
\tan\alpha=\frac{R}{z}.
Logo o cosseno do semiângulo é
\cos\alpha=\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.
  • O ângulo sólido \Omega de um cone de semiângulo \alpha é uma fórmula clássica (fácil de obter integrando elementos de área projetados):
\Omega_{\text{cone}}=2\pi\bigl(1-\cos\alpha\bigr).
  • Como o disco visto do ponto subtende exatamente esse cone, temos
\Omega(\vec r)=2\pi\left(1-\cos\alpha\right).
Substituindo \cos\alpha pelo valor obtido,
\Omega(\vec r)=2\pi\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right).

Passo 4

Aplicar a relação entre potencial e ângulo sólido para obter \varphi.
  • Usando a fórmula mencionada em Passo 2,
\varphi(\vec r)=\frac{i}{4\pi}\,\Omega(\vec r).
  • Substituindo o \Omega do Passo 3:
\varphi(\vec r)=\frac{i}{4\pi}\cdot 2\pi\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right).
  • Simplificando os fatores 2\pi e 4\pi:
\varphi(\vec r)=\frac{1}{2}i\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right).

Passo 5

Verificações intuitivas e limites (para ganhar confiança):
  • Quando z\to+\infty, temos \sqrt{R^{2}+z^{2}}\approx z e então
\varphi\to\frac{1}{2}i\bigl(1-\tfrac{z}{z}\bigr)=0,
o que faz sentido: longe da espira o potencial escalar tende a zero (escolha de referência).
  • Quando z=0 (no centro da espira, do lado de cima do disco), \sqrt{R^{2}+0}=R e
\varphi(z=0)=\frac{1}{2}i\left(1-0\right)=\frac{i}{2},
o que corresponde ao valor associado ao ângulo sólido de metade da esfera ( \Omega=2\pi).
  • Essas checagens mostram que a expressão tem comportamento físico coerente.

Resposta

\displaystyle \varphi(\vec{r})=\frac{1}{2} i\left\{1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right\}

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