Demonstre que o potencial escalar magnético num ponto sobre o eixo
de uma espira circular de raio
percorrida por uma corrente elétrica
é dado por:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que o potencial escalar magnético num ponto sobre o eixo
de uma espira circular de raio
percorrida por uma corrente
vale
Informações dadas e clarificações do problema:
- A espira é circular de raio
e está no plano (centro na origem). - A corrente que percorre a espira tem intensidade
. - O ponto onde queremos o potencial está sobre o eixo
, a distância do centro da espira (ou seja, coordenadas ). - Precisa-se obter a fórmula explícita de
em função de , e .
Passo 2
Ideia física e fórmula-chave que vamos usar (sem resolver ainda).
- Em regiões sem corrente elétrica local (ou seja, fora do fio), o campo magnético
pode ser escrito localmente como , onde é o potencial escalar magnético. Esse potencial é, em geral, multifacetado quando há correntes fechadas; ele sofre um salto ao atravessar qualquer superfície cujo contorno seja a espira que carrega a corrente. - Existe uma representação prática e muito usada: o valor do potencial escalar magnético em um ponto pode ser tomado proporcional ao ângulo sólido
subtendido por uma superfície limitada pela espira, vista a partir do ponto. A relação (na convenção usada aqui) é
onde
é o ângulo sólido (em radianos) com sinal, associado à superfície escolhida que tenha a espira como contorno. Essa fórmula é compatível com a condição física de que, ao atravessar a superfície
, o potencial sofre um salto igual a
(porque
salta de
para
), o que concorda com a presença da corrente (essa justificativa liga a fórmula à Lei de Ampère e ao comportamento de
).
- Portanto, para obter
num ponto sobre o eixo basta calcular o ângulo sólido que a superfície limitada pela espira (por exemplo, o disco do interior da espira) subtende no ponto, e então aplicar a relação acima.
Passo 3
Calcular o ângulo sólido
subtendido pelo disco de raio
(o interior da espira) visto a partir de um ponto sobre o eixo a uma distância
.
- Pense geometricamente: do ponto
saem raios que tocam a circunferência do disco formando um cone cujo eixo é o eixo e cujo semiângulo (meio-ângulo do cone) chamamos de . - A trigonometria do triângulo formado pelo centro da espira, um ponto da borda e o ponto sobre o eixo dá
Logo o cosseno do semiângulo é
- O ângulo sólido
de um cone de semiângulo é uma fórmula clássica (fácil de obter integrando elementos de área projetados):
- Como o disco visto do ponto subtende exatamente esse cone, temos
Substituindo
pelo valor obtido,
Passo 4
Aplicar a relação entre potencial e ângulo sólido para obter
.
- Usando a fórmula mencionada em Passo 2,
- Substituindo o
do Passo 3:
- Simplificando os fatores
e :
Passo 5
Verificações intuitivas e limites (para ganhar confiança):
- Quando
, temos e então
o que faz sentido: longe da espira o potencial escalar tende a zero (escolha de referência).
- Quando
(no centro da espira, do lado de cima do disco), e
o que corresponde ao valor associado ao ângulo sólido de metade da esfera (
).
- Essas checagens mostram que a expressão tem comportamento físico coerente.