Demonstre que
F[f(t) g(t)]=12 pi integral-infty^infty tildef(eta) tildeg(omega-eta) d eta
Este é o teorema da convolução.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Fourier do produto de duas funções f(t) e g(t) é dada pela convolução das suas transformadas, ou seja,
F[f(t)g(t)](omega) =12piintegral-infty^inftytilde f(eta),tilde g(omega-eta),deta
Vamos usar como ponto de partida a definição da transformada de Fourier e sua inversa.

Passo 2

Lembrando que, pelas convenções usuais,
tilde f(omega) =F[f(t)](omega) =integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt, f(t) =12piintegral-infty^inftytilde f(eta),e^ieta t,deta,
e de modo análogo para g(t):
g(t) =12piintegral-infty^inftytilde g(nu),e^inu t,dnu

Passo 3

Começamos calculando diretamente
F[f(t)g(t)](omega) =integral-infty^inftyf(t),g(t),e^-iomega t,dt
Substituindo as expressões inversas de f(t) e g(t), obtemos
F[f g](omega) =integral-infty^inftygl(12piintegral-infty^inftytilde f(eta)e^ieta tdetagr) gl(12piintegral-infty^inftytilde g(nu)e^inu tdnugr) e^-iomega t,dt

Passo 4

Agrupando termos e usando Fubini para trocar a ordem de integração:
F[f g](omega) =1(2pi)^2 integral-infty^infty!!integral-infty^inftytilde f(eta),tilde g(nu) l(integral-infty^inftye^i(eta+nu-omega)tdtr) deta,dnu
O núcleo interno é a transformada da função constante 1, conhecida por gerar o delta de Dirac.

Passo 5

Reconhecemos
integral-infty^inftye^i(eta+nu-omega)tdt =2pi,de<a(eta+nu-omega)
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F[f g](omega) =1(2pi)^2 integral!!integraltilde f(eta),tilde g(nu), 2pi,de<a(eta+nu-omega),deta,dnu =12pi integral-infty^inftytilde f(eta),tilde g(omega-eta),deta

Resposta

F[f(t)g(t)](omega) =12piintegral-infty^inftytilde f(eta),tilde g(omega-eta),deta

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