Demonstre que
Este é o teorema da convolução.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformada de Fourier do produto de duas funções
e
é dada pela convolução das suas transformadas, ou seja,
Vamos usar como ponto de partida a definição da transformada de Fourier e sua inversa.
Passo 2
Lembrando que, pelas convenções usuais,
e de modo análogo para
:
Passo 3
Começamos calculando diretamente
Substituindo as expressões inversas de
e
, obtemos
Passo 4
Agrupando termos e usando Fubini para trocar a ordem de integração:
O núcleo interno é a transformada da função constante 1, conhecida por gerar o delta de Dirac.
Passo 5
Reconhecemos
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