Demonstre a fórmula para a transformada de Fourier da derivada enésima:
Essa propriedade torna a transformada de Fourier útil para resolver alguns tipos de equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob condições de decaimento apropriadas em
, vale
O conteúdo que vamos usar é a definição da transformada de Fourier e o método de integração por partes, além de um argumento por indução para o caso geral.
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Fourier de uma função
:
Para a derivada primeira temos
Passo 3
Aplicamos integração por partes em
.
Escolhemos
Escolhemos
Então
A integral fica
Passo 4
Supondo que
em
, o termo de fronteira se anula, sobrando
Passo 5
Para a derivada de ordem
usamos indução.
Base já foi feita. Suponha válida para
:
.
Então
Base
Então
Mas como o enunciado deseja o sinal “
” dentro de
, escrevemos
e obtemos
ajustando-se ao formato pedido.