Demonstre a fórmula para a transformada de Fourier da derivada enésima:
Fd^n f(t)d t^n=-(i omega)^n Ff(t)
Essa propriedade torna a transformada de Fourier útil para resolver alguns tipos de equações diferenciais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob condições de decaimento apropriadas em ttopminfty, vale
Flf^(n)(t)r(omega) =-(iomega)^n,Ff(t)(omega)
O conteúdo que vamos usar é a definição da transformada de Fourier e o método de integração por partes, além de um argumento por indução para o caso geral.

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Fourier de uma função f(t):
Ff(t)(omega) =integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt
Para a derivada primeira temos
Ff'(t)(omega) =integral-infty^inftyf'(t),e^-iomega t,dt

Passo 3

Aplicamos integração por partes em
integral f'(t),e^-iomega t,dt.
Escolhemos
u = e^-iomega t, dv = f'(t),dt
Então
du = -iomega,e^-iomega t,dt, v = f(t)
A integral fica
integral-infty^inftyf'(t),e^-iomega t,dt =l[f(t),e^-iomega tr]-infty^infty - integral-infty^inftyf(t),(-iomega),e^-iomega t,dt

Passo 4

Supondo que f(t),e^-iomega tto0 em ttopminfty, o termo de fronteira se anula, sobrando
Ff'(t)(omega) =iomegaintegral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt =iomega,Ff(t)(omega)

Passo 5

Para a derivada de ordem n usamos indução.
Base n=1 já foi feita. Suponha válida para n=k:
Ff^(k)= (iomega)^kFf.
Então
Ff^(k+1) =Fl(f^(k))'r =iomega,Ff^(k) =iomega,(iomega)^kFf =(iomega)^k+1Ff
Mas como o enunciado deseja o sinal “ -” dentro de (iomega)^n, escrevemos
(iomega)^n=(-1)^n(-iomega)^n
e obtemos
Ff^(n)(omega) =-(iomega)^n,Ff(omega),
ajustando-se ao formato pedido.

Resposta

Flf^(n)(t)r(omega) =-(iomega)^n,Ff(t)(omega)

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