Demonstre a formula de redução
\begin{gathered} \int \cos ^{n} x d x=\frac{1}{n} \cos ^{n-1} x \operatorname{sen} x+\frac{n-1}{n} \int \cos ^{n-2} x d x \\ \int \tan ^{n} x d x=\frac{\tan ^{n-1} x}{n-1}-\int \tan ^{n-2} x d x \quad(n \neq 1) \\ \int(\ln x)^{n} d x=x(\ln x)^{n}-n \int(\ln x)^{n-1} d x \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar três fórmulas de redução de integrais usando integração por partes. O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, que se baseia na identidade
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Vamos aplicar isso adequadamente em cada caso.

Passo 2

Demonstração de \displaystyle \int \cos^n x\,dx. Defina
u = \cos^{\,n-1}x, \quad dv = \cos x\,dx.
Então
du = -(n-1)\cos^{\,n-2}x\sin x\,dx, \quad v = \sin x.
Pela fórmula de partes,
\int \cos^n x\,dx = \int u\,dv = u\,v - \int v\,du = \cos^{\,n-1}x\,\sin x + (n-1)\int \cos^{\,n-2}x\,\sin^2 x\,dx.
Como \sin^2 x = 1-\cos^2 x, obtemos
\int \cos^n x\,dx = \cos^{\,n-1}x\,\sin x + (n-1)\int \cos^{\,n-2}x\,dx - (n-1)\int \cos^n x\,dx.
Passando o termo (n-1)\int \cos^n x\,dx para o lado esquerdo,
n\int \cos^n x\,dx = \cos^{\,n-1}x\,\sin x + (n-1)\int \cos^{\,n-2}x\,dx,
logo
\int \cos^n x\,dx = \frac{1}{n}\cos^{\,n-1}x\,\sin x + \frac{n-1}{n}\int \cos^{\,n-2}x\,dx.

Passo 3

Demonstração de \displaystyle \int \tan^n x\,dx \;(n\neq1). Escreva
\tan^n x = \tan^{\,n-2}x\,\tan^2 x = \tan^{\,n-2}x\bigl(\operatorname{sec}^2 x - 1\bigr).
Então
\int \tan^n x\,dx = \int \tan^{\,n-2}x\,\operatorname{sec}^2 x\,dx - \int \tan^{\,n-2}x\,dx.
Na primeira integral, faça
u = \tan^{\,n-1}x, \quad du = (n-1)\tan^{\,n-2}x\,\operatorname{sec}^2 x\,dx,
de onde
\int \tan^{\,n-2}x\,\operatorname{sec}^2 x\,dx = \frac{1}{n-1}\tan^{\,n-1}x.
Assim
\int \tan^n x\,dx = \frac{\tan^{\,n-1}x}{n-1} - \int \tan^{\,n-2}x\,dx.

Passo 4

Demonstração de \displaystyle \int (\ln x)^n\,dx. Use partes com
u = (\ln x)^n, \quad dv = dx.
Então
du = n(\ln x)^{\,n-1}\,\frac{1}{x}\,dx, \quad v = x.
Logo
\int (\ln x)^n\,dx = x(\ln x)^n - \int x\cdot n(\ln x)^{\,n-1}\frac{1}{x}\,dx = x(\ln x)^n - n\int (\ln x)^{\,n-1}\,dx.

Resposta

\int \cos^n x\,dx = \frac{1}{n}\cos^{\,n-1}x\,\sin x + \frac{n-1}{n}\int \cos^{\,n-2}x\,dx,
\int \tan^n x\,dx = \frac{\tan^{\,n-1}x}{n-1} - \int \tan^{\,n-2}x\,dx \quad (n\neq1),
\int (\ln x)^n\,dx = x(\ln x)^n - n\int (\ln x)^{\,n-1}\,dx.

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