Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
\sigma(t)=(t, t, t), \quad t \in[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva definida pela função vetorial
\sigma(t) = (t,\,t,\,t),
com t\in[-1,1].
Isso é um caso de curva parametrizada em \mathbb R^3; vamos identificar sua forma geométrica e depois restringir ao intervalo de t.

Passo 2

Observando \sigma(t)=(t,t,t), vemos que as coordenadas satisfazem
x = t,\quad y = t,\quad z = t
logo
x = y = z.
Isso significa que a curva está contida na reta de \mathbb R^3 cuja direção é o vetor (1,1,1).

Passo 3

A reta r que passa pela origem e tem direção (1,1,1) pode ser escrita como
r(u) = u\,(1,1,1),\quad u\in\mathbb R.
Comparando com \sigma(t), vemos que basta tomar u=t. Portanto, \sigma é exatamente essa reta.

Passo 4

Como o parâmetro varia em [-1,1], a curva não é a reta inteira, mas apenas o segmento de reta que vai de
\sigma(-1) = (-1,-1,-1)
até
\sigma(1) = (1,1,1).
A orientação é de \sigma(-1) para \sigma(1) quando t cresce.

Passo 5

Para esboçar em 3D, desenhe três eixos perpendiculares (x, y, z) com origem comum. Trace uma reta que passa por (-1,-1,-1), cruza a origem e chega em (1,1,1). Marque as extremidades e indique a seta no sentido de t crescente.

Resposta

O esboço é o segmento de reta em \mathbb R^3 que liga (-1,-1,-1) a (1,1,1), alinhado com a direção (1,1,1) e orientado de \sigma(-1) para \sigma(1).

Exercícios relacionados