Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
\sigma(t)=(3, \cos t, t), \quad t \in[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica \sigma(t) = (3,\cos t, t) para t\in[0,\pi].
Esse é um problema de geometria no espaço: precisamos entender como o ponto se move em função de t e representar a trajetória em 3D.

Passo 2

Observe que a coordenada x é constante e igual a 3. Logo, a curva está contida no plano vertical
x = 3.

Passo 3

Nas outras duas coordenadas, temos y=\cos t e z=t. Podemos eliminar o parâmetro t escrevendo
y = \cos z,
pois z=t. Assim a curva é exatamente o gráfico da função y=\cos z no plano x=3, para z variando de 0 a \pi.

Passo 4

Identifiquemos os pontos principais:
t=0\;\Rightarrow\;\sigma(0)=(3,\cos0,0)=(3,1,0),
t=\tfrac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;\sigma\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =(3,\cos\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})=(3,0,\tfrac{\pi}{2}),
t=\pi\;\Rightarrow\;\sigma(\pi)=(3,\cos\pi,\pi)=(3,-1,\pi).
Entre esses valores a curva descreve a forma de uma “ondinha” de cosseno, caindo de y=1 até y=-1.

Passo 5

A orientação da curva segue o aumento de t, ou seja, vai do ponto (3,1,0) para (3,-1,\pi). Para esboçar:
– Desenhe o plano x=3.
– Nesse plano, trace o gráfico de y=\cos z de z=0 a z=\pi.
– Marque os pontos (3,1,0), (3,0,\tfrac{\pi}{2}) e (3,-1,\pi) e ligue-os pela curva suave de cosseno.

Resposta

A curva é o segmento do gráfico de y=\cos z no plano x=3, indo de (3,1,0) a (3,-1,\pi) com orientação crescente em z.

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