Demonstre a relação de Parseval:
integral-infty^infty tildef(omega) tildeg^*(omega) d omega=2 pi integral-infty^infty f(t) g^*(t) d t

Questão 07: Relação de Parseval

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a relação de Parseval para as transformadas de Fourier de duas funções f e g, isto é,
integral-infty^inftytilde f(omega),tilde g^*(omega),domega =2piintegral-infty^inftyf(t),g^*(t),dt
Aqui usamos como definição de transformada de Fourier
tilde f(omega)=integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt, tilde g(omega)=integral-infty^inftyg(t),e^-iomega t,dt,
e a conjugada tilde g^*(omega) vem de tomar conjugado de tilde g(omega).

Passo 2

Escrevemos o produto tilde f(omega),tilde g^*(omega) trocando a ordem de integração pela teorema de Fubini. Substituindo as definições, obtemos
integral-infty^inftytilde f(omega),tilde g^*(omega),domega =integral-infty^infty l[integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dtr] l[integral-infty^inftyg^*(u),e^iomega u,dur] domega

Passo 3

Reordenando em uma única integral tripla, temos
integral-infty^infty!!integral-infty^infty!!integral-infty^infty f(t),g^*(u),e^-iomega t,e^iomega u, d t,d u,domega =integral-infty^infty!!integral-infty^infty f(t),g^*(u)l[integral-infty^inftye^iomega(u-t),domegar] d t,d u
Reconhecemos no colchete a representação da função delta de Dirac:
integral-infty^inftye^iomega(u-t),domega =2pi,de<a(u-t)

Passo 4

Substituindo esse resultado na integral dupla,
integral-infty^infty!!integral-infty^infty f(t),g^*(u),2pi,de<a(u-t), d t,d u =2piintegral-infty^inftyf(t),g^*(t),dt,
pois a integração em u pela propriedade da delta faz u=t.

Resposta

integral-infty^inftytilde f(omega),tilde g^*(omega),domega =2piintegral-infty^inftyf(t),g^*(t),dt

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