Demonstre as fórmulas abaixo por indução matemática:
para todo
.
Passo 1
Vamos usar indução matemática para provar que a soma dos cubos dos primeiros
inteiros é igual ao quadrado da soma desses
inteiros, ou seja, que
. A técnica de indução envolve três partes: verificar o caso base, assumir a hipótese para um
genérico e mostrar que isso implica no caso
. Também vamos precisar de manipulações algébricas para reorganizar expressões e chegar ao formato de um quadrado.
Passo 2
No caso base, tomamos
. À esquerda temos
. À direita,
Como os dois lados coincidem, o caso base está certo.
Passo 3
Para a hipótese de indução, suponha que para algum
valha
Vamos usar essa suposição para provar que a fórmula também vale para
.
Passo 4
No passo indutivo, consideramos a soma até
:
Usando a hipótese de indução na parte
, temos
Agora, fatoramos
e reescrevemos:
Isso mostra que, se a fórmula vale para
, então vale também para
.
Passo 5
Como verificamos o caso base e mostramos que a validade para
implica a validade para
, pelo princípio da indução matemática a fórmula
vale para todo
.