Demonstre as fórmulas abaixo por indução matemática:
1^3+2^3+3^3+cdots+n^3=[n(n+1)2]^2 para todo n >= 1.

Passo 1

Vamos usar indução matemática para provar que a soma dos cubos dos primeiros n inteiros é igual ao quadrado da soma desses n inteiros, ou seja, que sumi=1^n i^3 = [n(n+1)2]^2. A técnica de indução envolve três partes: verificar o caso base, assumir a hipótese para um k genérico e mostrar que isso implica no caso k+1. Também vamos precisar de manipulações algébricas para reorganizar expressões e chegar ao formato de um quadrado.

Passo 2

No caso base, tomamos n=1. À esquerda temos 1^3 = 1. À direita,
[1cdot(1+1)2]^2 = [1cdot22]^2 = 1^2 = 1
Como os dois lados coincidem, o caso base está certo.

Passo 3

Para a hipótese de indução, suponha que para algum k>=1 valha
sumi=1^k i^3 = [k(k+1)2]^2
Vamos usar essa suposição para provar que a fórmula também vale para n=k+1.

Passo 4

No passo indutivo, consideramos a soma até k+1:
sumi=1^k+1 i^3 = sumi=1^k i^3 + (k+1)^3
Usando a hipótese de indução na parte sumi=1^k i^3, temos
sumi=1^k+1 i^3 = [k(k+1)2]^2 + (k+1)^3
Agora, fatoramos (k+1)^2 e reescrevemos:
[k(k+1)2]^2 + (k+1)^3 = (k+1)^2[k^24 + (k+1)] = (k+1)^2[k^2 + 4k +44] = (k+1)^2[(k+2)^24] = [(k+1)(k+2)2]^2
Isso mostra que, se a fórmula vale para k, então vale também para k+1.

Passo 5

Como verificamos o caso base e mostramos que a validade para k implica a validade para k+1, pelo princípio da indução matemática a fórmula
sumi=1^n i^3 = [n(n+1)2]^2
vale para todo n>=1.

Resposta

sumi=1^n i^3 = [n(n+1)2]^2

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