Use fatos conhecidos para construir:
a) Uma série de termos não negativos que convirga para
.
b) Construa uma série telescópica que convirga para
.
a) Uma série de termos não negativos que convirga para
b) Construa uma série telescópica que convirga para
Passo 1
O enunciado pede para construir duas séries que tenham soma
: (a) uma série de termos não negativos e (b) uma série telescópica. Vamos usar fatos sobre séries geométricas e telescópicas para gerar essas construções.
Passo 2
Para a parte (a), lembramos que uma série geométrica de razão
com
e primeiro termo
satisfaz
Basta escolhermos
e ajustar
para que a soma seja 7. Como queremos
Assim, uma forma mais direta é reindexar a soma a partir de
com primeiro termo
e mesma razão
, ou então escrever
cuja soma dá exatamente 7 e todos os termos são não negativos.
Passo 3
Para a parte (b), usamos uma série telescópica. Se definirmos o termo geral como a diferença
então a soma parcial até
é
. Queremos que no limite
e que
. Basta tomar
$$
u_n = \frac{7}{n},
\frac{7}{n} - \frac{7}{n+1}
\sum_{n=1}^\infty \Bigl(\frac{7}{n} - \frac{7}{n+1}\Bigr) = 7.
$$
Passo 4
Essas são construções conhecidas e garantem as somas pedidas.
Resposta
a)
b)
b)