Seja
a curva definida por
Determine a reparametrização de
pelo comprimento de arco com origem em 0 .
Passo 1
O exercício pede para reparametrizar por comprimento de arco a curva
com origem em 0. O conteúdo é reparametrização por comprimento de arco: vamos precisar calcular
, sua norma, integrar para achar
e inverter para obter
.
Passo 2
Usando regra da cadeia, defina
. Então
Passo 3
A norma de
é
Passo 4
O comprimento de arco desde 0 até
é
Passo 5
Como
, temos
e logo
. Podemos reparametrizar sem resolver o cúbico para
, já que a curva original é
.
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos a parametrização pelo comprimento de arco.
Resposta
A reparametrização pelo comprimento de arco é