Seja c: R R^3 a curva definida por
c(t)=(cos (t^3+t), sen(t^3+t), t^3+t)
Determine a reparametrização de c pelo comprimento de arco com origem em 0 .

Passo 1

O exercício pede para reparametrizar por comprimento de arco a curva c(t)=(cos(t^3+t),,sin(t^3+t),,t^3+t) com origem em 0. O conteúdo é reparametrização por comprimento de arco: vamos precisar calcular c'(t), sua norma, integrar para achar s(t) e inverter para obter t(s).

Passo 2

Usando regra da cadeia, defina u=t^3+t. Então
c'(t)=l(-sin(u),u',;cos(u),u',;u'r), u'=3t^2+1

Passo 3

A norma de c'(t) é
|c'(t)|=raiz(-sin(u),u')^2+(cos(u),u')^2+(u')^2=u'raizsin^2(u)+cos^2(u)+1=raiz2,(3t^2+1)

Passo 4

O comprimento de arco desde 0 até t é
s(t)=integral0^t|c'(tau)|,dtau=raiz2integral0^t(3tau^2+1)dtau=raiz2l(t^3+tr)

Passo 5

Como u=t^3+t, temos s=raiz2,u e logo u=s/raiz2. Podemos reparametrizar sem resolver o cúbico para t, já que a curva original é c(t)=(cos u,,sin u,,u).

Passo 6

Substituindo u=s/raiz2 em c, obtemos a parametrização pelo comprimento de arco.

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco é
tilde c(s)=l(cos(s/raiz2),;sin(s/raiz2),;s/raiz2r), sinR

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