Demonstre que as fórmulas abaixo são teoremas. Para as provas, você pode escolher entre o Sistema Axiomático de Hilbert, utilizando apenas os axiomas apresentados em sala e a regra do modus ponens(MP) ou o Sistema de Dedução Natural no estilo de Gentzen.
\{p \rightarrow q, q \rightarrow p\} \vdash(p \rightarrow q)^{\wedge}(q \rightarrow p)

Passo 1

O enunciado nos pede mostrar que, no sistema de Dedução Natural, a partir das premissas \{\,p\to q,\;q\to p\}
podemos deduzir (p\to q)\wedge(q\to p).
O conteúdo que usaremos é a regra de introdução da conjunção \wedge I.

Passo 2

Liste as premissas:
1.\quad p\to q
2.\quad q\to p

Passo 3

Aplicando a regra de introdução da conjunção \wedge I às fórmulas (1) e (2), obtemos
3.\quad (p\to q)\wedge(q\to p)\quad(\wedge I,\,1,2)

Resposta

\{\,p\to q,\;q\to p\}\;\vdash\;(p\to q)\wedge(q\to p)

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