Resolva pelo método de Tableaux
\{(\neg P \vee Q) \vee R,(Q \vee R) \rightarrow S\} \vdash P \rightarrow S

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a partir de
1.\;(\neg P \vee Q)\vee R
2.\;(Q\vee R)\to S
segue
P\to S.
Vamos usar o método de Tableaux por refutação: assumimos 1, 2 e a negação de P\to S, e mostramos que todas as ramificações levam a contradição.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas iniciais no Tableau:
(\neg P \vee Q)\vee R,
(Q\vee R)\to S,
\neg(P\to S).
Como \neg(P\to S) é equivalente a P\wedge\neg S, extraímos duas fórmulas (α-fórmula):
3a.\;P,
3b.\;\neg S.

Passo 3

Expandimos a implicação da fórmula 2 (fórmula β):
(Q\vee R)\to S\;\equiv\;\neg(Q\vee R)\vee S.
Isso gera duas ramificações:
  • Ramo A: \neg(Q\vee R).
  • Ramo B: S.
    No ramo B surge S junto com \neg S (da fórmula 3b), então ele fecha.

Passo 4

No único ramo aberto temos agora
(\neg P \vee Q)\vee R,\;P,\;\neg S,\;\neg(Q\vee R).
Expandimos \neg(Q\vee R) (fórmula α) e obtemos:
\neg Q,
\neg R.

Passo 5

Ainda nesse ramo, expandimos (\neg P \vee Q)\vee R (fórmula β), gerando dois subramos:
  • Subramo 1: \neg P \vee Q.
  • Subramo 2: R.
No subramo 2 temos R e \neg R, contradição, fecha.

Passo 6

Sob o subramo 1 inserimos \neg P\vee Q e expandimos (fórmula β) em:
  • Subramo 1.1: \neg P.
  • Subramo 1.2: Q.
Em 1.1: aparecem P e \neg P, contradição.
Em 1.2: aparecem Q e \neg Q, contradição.
Logo todos os ramos fecham.

Resposta

Todos os ramos do Tableau fecham, logo
\{(\neg P \vee Q)\vee R,\;(Q\vee R)\to S\}\;\vdash\;P\to S.

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