Identifique, raciocinando por absurdo, se as seguintes fórmulas são válidas ou inválidas:
PS.: as fórmulas inválidas devem ser associadas a uma estrutura que as falsifique.
\quad(\forall \mathrm{xAxv} \forall \mathrm{xBx}) \rightarrow \forall \mathrm{x}(\mathrm{Ax} \vee \mathrm{Bx})

Passo 1

Queremos testar a validade da fórmula
(\forall x\,A(x)\;\lor\;\forall x\,B(x))\;\to\;\forall x\,(A(x)\lor B(x))
em lógica de predicados. Vamos usar raciocínio por absurdo: supor que a implicação seja falsa e chegar a uma contradição.

Passo 2

Assuma que a implicação seja falsa. Então o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso:
  1. \forall x\,A(x)\;\lor\;\forall x\,B(x).
  2. \neg\forall x\,(A(x)\lor B(x)).
De 2 decorre que existe um termo c tal que
\neg\bigl(A\text{(c)}\lor B\text{(c)}\bigr),
ou seja,
\neg A\text{(c)}\;\land\;\neg B\text{(c)}.

Passo 3

Da disjunção em 1 aplicamos eliminação de “ou” por casos:
Caso 1: \forall x\,A(x). Então, pelo instanciamento universal, A\text{(c)} é verdadeira, o que entra em contradição com \neg A\text{(c)}.
Caso 2: \forall x\,B(x). Então, pelo instanciamento universal, B\text{(c)} é verdadeira, o que entra em contradição com \neg B\text{(c)}.

Passo 4

Cada uma das escolhas na disjunção leva a contradição. Logo, a suposição de que a fórmula é falsa é impossível. Portanto não há modelo que a falsifique.

Resposta

Válida.

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