Resolva pelo método de Tableaux
\vdash(\forall \mathrm{xPx} \rightarrow \forall \mathrm{xQx}) \rightarrow \forall \mathrm{x}(\mathrm{Px} \rightarrow \mathrm{Qx})

Passo 1

O enunciado pede para testar a validade da fórmula
(\forall x\,P(x)\to\forall x\,Q(x))\;\to\;\forall x\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr)
usando o método semântico de tableaux em lógica de primeira ordem. Vamos precisar das regras de tableaux para a implicação, para negação de quantificador universal e para os quantificadores ∀ e ∃.

Passo 2

Para verificar se a fórmula é válida, começamos negando-a. Colocamos no ramo inicial:
  1. \forall x\,P(x)\to\forall x\,Q(x)
  2. \neg\,\forall x\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr)

Passo 3

Decompondo 2.:
  • A regra para \neg\forall gera \exists x\,\neg\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr).
  • Em seguida aplicamos a regra ∃, introduzindo uma constante nova a, e obtemos
  1. \neg\bigl(P(a)\to Q(a)\bigr).
  • Finalmente usamos a regra α para \neg(A\to B), que dá simultaneamente
  1. P(a)
  2. \neg Q(a)

Passo 4

Agora decompondo 1. que é uma implicação β:
  • Ramo 4.1: \neg\forall x\,P(x)
  • Ramo 4.2: \forall x\,Q(x)
    Em ambos os ramos ficam as fórmulas P(a) e \neg Q(a).

Passo 5

Ramo 4.1 \neg\forall x\,P(x):
  • Regra para \neg\forall gera \exists x\,\neg P(x).
  • Instanciamos com constante nova b, obtendo
  1. \neg P(b).
    Não sobra mais regra aplicável e não há contradição entre P(a),\neg Q(a),\neg P(b) e a implicação original. Esse ramo fica aberto.
Ramo 4.2 \forall x\,Q(x):
  • Regra ∀ dá Q(a).
  • Com Q(a) e \neg Q(a) surge contradição, fechando esse ramo.

Passo 6

Como há um ramo aberto, o tableau não fecha, o que mostra que a negação da fórmula é satisfatível. Logo a fórmula original não é válida em lógica de primeira ordem.
Do ramo aberto extraímos um contra-modelo:
D=\{a,b\},\quad P^I=\{a\},\quad Q^I=\varnothing.
Nesse modelo \forall x\,P(x)\to\forall x\,Q(x) é verdade (antecedente falso), mas \forall x(P(x)\to Q(x)) é falso em x=a.

Resposta

A fórmula (\forall x\,P(x)\to\forall x\,Q(x))\to\forall x(P(x)\to Q(x)) não é válida. Um contra-modelo é dado por
D=\{a,b\},\quad P^I=\{a\},\quad Q^I=\varnothing.

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