Seja I uma interpretação sobre o conjunto dos números naturais N, tal que I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7, I[p(x)]=T Leftrightarrow xI<9, I[r(x)]=T Leftrightarrow xI>4, I[q(x)]=T Leftrightarrow xI=7. Determine o resultado da interpretação de cada uma das fórmulas a seguir, segundo I.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a verdade da fórmula em lógica de predicados sobre ℕ, dado que em I: a=5, b=3 e os predicados são p(x)⇔x<9, r(x)⇔x>4.

Passo 2

Para o lado esquerdo
∃xl(p(x)→(∃x)r(x)r)
observe que o ∃x interno em (∃x)r(x) não depende do x externo. Como há algum natural maior que 4, (∃x)r(x) é verdadeiro. Logo para qualquer x vale p(x)→T, que é T. Assim existe x que torna a implicação verdadeira, e o lado esquerdo é T.

Passo 3

Para o lado direito
(∀x)p(x)→(∃x)r(b)
avaliamos primeiro ∀x p(x): nem todo natural satisfaz x<9, então é F. Depois ∃x r(b) é r(3) pois b=3, e 3>4 é F, logo esse existencial é F. Então temos F→F, que é T.

Passo 4

Por fim, a bicondicional
T↔T
é verdadeira, pois ambos os lados são T.

Resposta

T

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