Suponha que eu jogue uma pedra de um penhasco de altura h. Enquanto ela cai, tiro milhões de fotos em intervalos aleatórios. Em cada foto, meço a distância que a pedra já percorreu.
(a) Calcule a densidade de probabilidade \rho(x). Sugestão: Sabendo que T é o tempo total de voo, então a probabilidade de que a câmera dispare no intervalo d t é \frac{d t}{T}, essa é a probabilidade de que dada fotografia mostre uma distância no intervalo correspondente d x
(b) Verifique o resultado obtido usando a equação: 1=\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x) d x,
(c) Calcule a distância média, que é dada pela equação \langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} x \rho(x) d x
Passo 1
O enunciado dá o seguinte cenário e pede três coisas claras:
Cenário e dados fornecidos:
Tenho um penhasco de altura h.
Lançamos (ou soltamos) uma pedra do topo com velocidade inicial nula e ela cai sob gravidade constante g.
O tempo total de queda é T (tempo até a pedra atingir o solo).
Eu tiro fotografias em instantes aleatórios, uniformemente distribuídos no intervalo de tempo [0,T]. Ou seja, a probabilidade da câmera disparar num intervalo de tempo d t é \dfrac{d t}{T}.
Em cada foto eu meço a distância x que a pedra já percorreu desde o topo; portanto x varia entre 0 e h.
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a densidade de probabilidade \rho(x) da distância x observada numa foto aleatória.
(b) Verificar a normalização usando \displaystyle 1=\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)\,dx.
(c) Calcular a distância média \langle x\rangle=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\,\rho(x)\,dx.
Observações úteis (informações que usaremos mais adiante): a posição x em função do tempo, partindo do repouso, é dada pela equação da cinemática
Entendendo como transformar a probabilidade uniforme em tempo numa densidade para x.
Ideia chave: a câmera dispara com probabilidade uniforme no tempo, isto é, a probabilidade de disparo num intervalo d t é \dfrac{d t}{T}. Cada instante t corresponde a uma distância x=x(t). Então a probabilidade de obter uma foto cujo x esteja entre x e x+d x é a mesma probabilidade de disparar no tempo entre os instantes correspondentes, ou seja
\rho(x)\,d x = \frac{d t}{T}.
Logo a densidade \rho(x) (por definição) é
\rho(x)=\frac{1}{T}\,\frac{d t}{d x}.
Observação importante: \dfrac{d t}{d x}=\dfrac{1}{d x/d t}, desde que d x/d t\neq 0. Usaremos isso porque é simples calcular dx/dt a partir de x(t).
Passo 3
Calcular d x/d t a partir da equação do movimento.
Partindo de \displaystyle x(t)=\tfrac{1}{2}g t^{2}, derivamos em relação a t:
\frac{d x}{d t}=g t.
Portanto
\frac{d t}{d x}=\frac{1}{g t}.
Passo 4
Expressar t como função de x para substituir em \dfrac{d t}{d x}.
Da relação x=\tfrac{1}{2}g t^{2}, isolamos t (considerando t\ge 0 durante a queda):
Interpretação rápida: a média da distância percorrida, quando fotografamos em instantes uniformes no tempo, é \dfrac{h}{3}. Intuitivamente, a pedra passa mais tempo nas primeiras partes da queda (velocidade pequena), então é mais provável fotografá-la em x pequeno; por isso a média fica menor que h/2.