Suponha que eu jogue uma pedra de um penhasco de altura h. Enquanto ela cai, tiro milhões de fotos em intervalos aleatórios. Em cada foto, meço a distância que a pedra já percorreu.
(a) Calcule a densidade de probabilidade \rho(x). Sugestão: Sabendo que T é o tempo total de voo, então a probabilidade de que a câmera dispare no intervalo d t é \frac{d t}{T}, essa é a probabilidade de que dada fotografia mostre uma distância no intervalo correspondente d x
(b) Verifique o resultado obtido usando a equação: 1=\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x) d x,
(c) Calcule a distância média, que é dada pela equação \langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} x \rho(x) d x

Passo 1

O enunciado dá o seguinte cenário e pede três coisas claras:
  • Cenário e dados fornecidos:
    • Tenho um penhasco de altura h.
    • Lançamos (ou soltamos) uma pedra do topo com velocidade inicial nula e ela cai sob gravidade constante g.
    • O tempo total de queda é T (tempo até a pedra atingir o solo).
    • Eu tiro fotografias em instantes aleatórios, uniformemente distribuídos no intervalo de tempo [0,T]. Ou seja, a probabilidade da câmera disparar num intervalo de tempo d t é \dfrac{d t}{T}.
    • Em cada foto eu meço a distância x que a pedra já percorreu desde o topo; portanto x varia entre 0 e h.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular a densidade de probabilidade \rho(x) da distância x observada numa foto aleatória.
    (b) Verificar a normalização usando \displaystyle 1=\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)\,dx.
    (c) Calcular a distância média \langle x\rangle=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\,\rho(x)\,dx.
Observações úteis (informações que usaremos mais adiante): a posição x em função do tempo, partindo do repouso, é dada pela equação da cinemática
x(t)=\tfrac{1}{2}gt^{2},
e o tempo total T satisfaz
h=\tfrac{1}{2}gT^{2}\quad\Rightarrow\quad T=\sqrt{\tfrac{2h}{g}}.

Passo 2

Entendendo como transformar a probabilidade uniforme em tempo numa densidade para x.
  • Ideia chave: a câmera dispara com probabilidade uniforme no tempo, isto é, a probabilidade de disparo num intervalo d t é \dfrac{d t}{T}. Cada instante t corresponde a uma distância x=x(t). Então a probabilidade de obter uma foto cujo x esteja entre x e x+d x é a mesma probabilidade de disparar no tempo entre os instantes correspondentes, ou seja
\rho(x)\,d x = \frac{d t}{T}.
  • Logo a densidade \rho(x) (por definição) é
\rho(x)=\frac{1}{T}\,\frac{d t}{d x}.
  • Observação importante: \dfrac{d t}{d x}=\dfrac{1}{d x/d t}, desde que d x/d t\neq 0. Usaremos isso porque é simples calcular dx/dt a partir de x(t).

Passo 3

Calcular d x/d t a partir da equação do movimento.
  • Partindo de \displaystyle x(t)=\tfrac{1}{2}g t^{2}, derivamos em relação a t:
\frac{d x}{d t}=g t.
  • Portanto
\frac{d t}{d x}=\frac{1}{g t}.

Passo 4

Expressar t como função de x para substituir em \dfrac{d t}{d x}.
  • Da relação x=\tfrac{1}{2}g t^{2}, isolamos t (considerando t\ge 0 durante a queda):
t=\sqrt{\frac{2x}{g}}.
  • Substituindo em \dfrac{d t}{d x} obtemos
\frac{d t}{d x}=\frac{1}{g\,\sqrt{\dfrac{2x}{g}}} =\frac{1}{\sqrt{2g x}}.

Passo 5

Montar \rho(x) usando a expressão encontrada e T.
  • Usando \rho(x)=\dfrac{1}{T}\dfrac{d t}{d x} e \dfrac{d t}{d x}=\dfrac{1}{\sqrt{2g x}}, temos, para x entre 0 e h,
\rho(x)=\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{\sqrt{2g x}}.
  • Substituímos T=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}. Então
\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{2h}{g}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2g x}} =\frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{2h}{g}\right)\left(2g x\right)}}.
  • Multiplicando dentro da raiz \left(\dfrac{2h}{g}\right)\left(2g x\right)=4 h x, logo
\rho(x)=\frac{1}{2\sqrt{h x}}.
  • Concluímos que a densidade é
\rho(x)=\frac{1}{2\sqrt{h x}}\quad\text{para }0\le x\le h,
e \rho(x)=0 fora desse intervalo.

Passo 6

Verificação da normalização \displaystyle 1=\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)\,dx.
  • Como \rho(x)=0 fora de [0,h], basta integrar de 0 a h:
\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)\,dx=\int_{0}^{h}\frac{1}{2\sqrt{h x}}\,dx.
  • Factorizando constantes:
\int_{0}^{h}\frac{1}{2\sqrt{h x}}\,dx=\frac{1}{2\sqrt{h}}\int_{0}^{h}x^{-1/2}\,dx.
  • Calcule a integral \displaystyle\int_{0}^{h}x^{-1/2}\,dx. A primitiva de x^{-1/2} é 2x^{1/2}. Logo
\int_{0}^{h}x^{-1/2}\,dx=\left[2x^{1/2}\right]_{0}^{h}=2\sqrt{h}-0=2\sqrt{h}.
  • Substituindo,
\frac{1}{2\sqrt{h}}\cdot 2\sqrt{h}=1.
  • Portanto a densidade está corretamente normalizada.

Passo 7

Cálculo da média \langle x\rangle=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\,\rho(x)\,dx.
  • Novamente a integral reduz-se ao intervalo [0,h]:
\langle x\rangle=\int_{0}^{h} x\cdot\frac{1}{2\sqrt{h x}}\,dx.
  • Simplificando dentro da integral: x\cdot x^{-1/2}=x^{1/2}. Assim
\langle x\rangle=\frac{1}{2\sqrt{h}}\int_{0}^{h}x^{1/2}\,dx.
  • Calcule a integral \displaystyle\int_{0}^{h}x^{1/2}\,dx. A primitiva de x^{1/2} é \tfrac{2}{3}x^{3/2}. Então
\int_{0}^{h}x^{1/2}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{h}=\tfrac{2}{3}h^{3/2}.
  • Substituindo:
\langle x\rangle=\frac{1}{2\sqrt{h}}\cdot \frac{2}{3}h^{3/2}=\frac{1}{3}h.
  • Interpretação rápida: a média da distância percorrida, quando fotografamos em instantes uniformes no tempo, é \dfrac{h}{3}. Intuitivamente, a pedra passa mais tempo nas primeiras partes da queda (velocidade pequena), então é mais provável fotografá-la em x pequeno; por isso a média fica menor que h/2.

Resposta

(a) \displaystyle \rho(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2\sqrt{h x}},&0\le x\le h,\\[6pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á
(b) \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)\,dx=1
(c) \displaystyle \langle x\rangle=\frac{h}{3}]

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