Demonstre que a função
f(x)= x^4 sen(1 / x) & se x neq 0 0 & se x=0
é contínua em (-infty, infty).

Passo 1

O enunciado define
f(x)= x^4sinl(1/xr),&xneq0, 0,&x=0
Queremos mostrar que f é contínua em todo R. Para isso, verificamos separadamente os pontos xneq0 e x=0.

Passo 2

Se xneq0, então as funções xmapsto x^4 e xmapsto sin(1/x) são contínuas naquele ponto, e o produto de duas funções contínuas é contínuo. Logo, f(x)=x^4sin(1/x) é contínua para todo xneq0.

Passo 3

Em x=0, calculamos
limxto0f(x) =limxto0x^4sinl(1/xr)
Como -1<= sin(1/x)<=1, temos
-|x^4|<= x^4sin(1/x)<= |x^4|
Mas limxto0|x^4|=0. Pelo Teorema do Confronto,
limxto0x^4sin(1/x)=0
Esse limite coincide com f(0)=0, logo f é contínua em 0.

Resposta

A função f é contínua em todo o eixo real.

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