Calcule o comprimento de arco da curva
parametrizada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco da curva
que é dada pela parametrização vetorial:
Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente na parte de comprimento de arco de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
no intervalo
:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
representa a norma (ou módulo) desse vetor derivada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada:
Derivando cada componente:
Calculando cada derivada:
Então, a derivada é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
Simplificando:
Passo 5
Vamos fatorar
para simplificar a expressão dentro da raiz:
Observando o polinômio dentro da raiz:
Então:
Passo 6
Agora que temos a expressão para
, vamos montar o integral para o comprimento de arco:
Vamos simplificar a fração:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Então, a integral definida de 1 a 2 é:
Passo 8
Vamos avaliar essa expressão nos limites de integração:
Simplificando:
Resposta
O comprimento de arco da curva
no intervalo de
a
é: