Calcule o comprimento de arco da curva C parametrizada por
r(t)=(4raizt, ln t, 2t), 1 <= t <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco da curva C que é dada pela parametrização vetorial:
r(t) = (4raizt, ln t, 2t), 1 <= t <= 2
Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente na parte de comprimento de arco de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por r(t) no intervalo [a, b]:
Comprimento de Arco = integrala^b |r'(t)| , dt
Aqui, r'(t) é a derivada de r(t) em relação a t, e |r'(t)| representa a norma (ou módulo) desse vetor derivada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de r(t) em relação a t. Dada:
r(t) = (4raizt, ln t, 2t)
Derivando cada componente:
r'(t) = ( ddt ( 4raizt ), ddt (ln t), ddt ( 2t ) )
Calculando cada derivada:
  1. ddt ( 4raizt ) = ddt ( 4 t^-1/2 ) = -2 t^-3/2 = -2t^3/2
  2. ddt (ln t) = 1t
  3. ddt ( 2t ) = -2t^2
Então, a derivada é:
r'(t) = ( -2t^3/2, 1t, -2t^2 )

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de r'(t), que é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
|r'(t)| = raiz ( -2t^3/2 )^2 + ( 1t )^2 + ( -2t^2 )^2
Simplificando:
|r'(t)| = raiz 4t^3 + 1t^2 + 4t^4

Passo 5

Vamos fatorar 1t^4 para simplificar a expressão dentro da raiz:
|r'(t)| = raiz 4 tt^4 + 1 t^2t^4 + 4t^4 = raiz 4t + t^2 + 4t^4 = raizt^2 + 4t + 4 t^2
Observando o polinômio dentro da raiz:
t^2 + 4t + 4 = (t + 2)^2
Então:
|r'(t)| = raiz(t + 2)^2 t^2 = t + 2 t^2

Passo 6

Agora que temos a expressão para |r'(t)|, vamos montar o integral para o comprimento de arco:
Comprimento de Arco = integral1^2 t + 2t^2 , dt
Vamos simplificar a fração:
t + 2t^2 = tt^2 + 2t^2 = 1t + 2 t^-2

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral ( 1t + 2 t^-2 ) dt = integral 1t dt + 2 integral t^-2 dt
Calculando as integrais:
  1. integral 1t dt = ln |t| + C
  2. 2 integral t^-2 dt = 2 ( -t^-1 ) + C = -2t + C
Então, a integral definida de 1 a 2 é:
[ ln t - 2t ]1^2

Passo 8

Vamos avaliar essa expressão nos limites de integração:
( ln 2 - 22 ) - ( ln 1 - 21 )
Simplificando:
( ln 2 - 1 ) - ( 0 - 2 ) = ln 2 - 1 + 2 = ln 2 + 1

Resposta

O comprimento de arco da curva C no intervalo de t = 1 a t = 2 é:
ln 2 + 1 approx 1,693 , unidades

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