Escola Politécnica da Universidade de Pernambuco
Lista de Exercícios
integral d xx^2+2 x+1

Passo 1

A gente precisa calcular a integral de uma função racional bem simples: integral dxx^2+2x+1. O conteúdo aqui é integração de funções racionais, e vamos precisar usar a técnica de completar quadrado e depois a regra de potência para integrar.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador é um quadrado perfeito. Fazendo a soma do termo quadrático e do termo linear em x:
x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2
Isso simplifica muito a integral.

Passo 3

Agora, fazemos a substituição u = x+1. Então du = dx e o integrando fica:
integral dx(x+1)^2 = integral duu^2 = integral u^-2,du
Para integrar u^-2 usamos a regra de potência: integral u^n,du = u^n+1n+1 + C (para nneq -1). Aqui n=-2, então

Passo 4

Ao aplicar a regra de potência:
integral u^-2,du = u^-2+1-2+1 + C = u^-1-1 + C = -u^-1 + C
Substituindo de volta u = x+1, obtemos o resultado final.

Passo 5

O resultado da integral é:
-1x+1 + C

Resposta

-\frac{1}{x+1} + C

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