Demonstre a função de onda da superposição de ondas progressivas em um mesmo sentido e em sentidos opostos (onda estacionária). Identifique e discuta sobre o termo de amplitude e o termo oscilatório.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a função de onda resultante da superposição de duas ondas progressivas no mesmo sentido e de duas ondas progressivas em sentidos opostos, e em seguida identificarmos o termo de amplitude e o termo oscilatório em cada caso. O conteúdo principal aqui é a superposição linear de ondas e o uso de identidades trigonométricas para reescrever somas de cossenos.

Passo 2

Considere duas ondas de amplitudes A_1 e A_2, número de onda k, frequência angular \omega e fases iniciais \phi_1 e \phi_2, ambas viajando no sentido positivo de x:
y_1(x,t) = A_1\cos\bigl(kx - \omega t + \phi_1\bigr),
y_2(x,t) = A_2\cos\bigl(kx - \omega t + \phi_2\bigr).
A soma é
y(x,t)=y_1+y_2 =A_1\cos\Theta_1 + A_2\cos\Theta_2,
onde \Theta_i = kx - \omega t + \phi_i. Como \Theta_1 e \Theta_2 têm a mesma base kx-\omega t, podemos usar a fórmula de soma de cossenos com fases diferentes e mostrar que
y(x,t)=R\cos\bigl(kx - \omega t + \delta\bigr),
com
R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\phi_2-\phi_1)},
\delta = \arctan\!\Bigl(\frac{A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2}\Bigr).
Aqui o termo de amplitude é R, que resulta da combinação vetorial de A_1 e A_2, e o termo oscilatório é \cos(kx-\omega t+\delta), que descreve a variação conjunta em x e t de uma onda única viajante.

Passo 3

Agora tome duas ondas de mesma amplitude A viajando em sentidos opostos:
y_1(x,t) = A\cos\bigl(kx - \omega t\bigr),
y_2(x,t) = A\cos\bigl(kx + \omega t\bigr).
A soma é
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)+A\cos(kx+\omega t).
Usando a identidade
\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\!\Bigl(\frac{\alpha+\beta}2\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{\alpha-\beta}2\Bigr),
com \alpha = kx - \omega t e \beta = kx + \omega t, obtemos
y(x,t) = 2A\cos(kx)\,\cos(\omega t).
Aqui o termo de amplitude é o fator espacial
2A\cos(kx),
que não depende de t, e o termo oscilatório é o fator temporal
\cos(\omega t),
que não depende de x. Essa forma separada caracteriza a onda estacionária.

Passo 4

Na onda estacionária y(x,t)=2A\cos(kx)\cos(\omega t) aparecem nós (pontos onde \cos(kx)=0) e ventres (picos onde \lvert\cos(kx)\rvert é máximo). A dependência espacial em \cos(kx) define a distribuição de amplitude no espaço, enquanto \cos(\omega t) descreve a oscilação de cada ponto no tempo sem deslocamento de energia ao longo de x.

Resposta

Para ondas no mesmo sentido:
y(x,t)=R\cos\bigl(kx-\omega t+\delta\bigr),
com R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\phi_2-\phi_1)} e \delta dado acima.
Amplitude: R. Oscilatório: \cos(kx-\omega t+\delta).
Para ondas em sentidos opostos (estacionária):
y(x,t)=2A\cos(kx)\cos(\omega t).
Amplitude espacial: 2A\cos(kx). Oscilatório temporal: \cos(\omega t).

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