Demonstre a função de onda da superposição de ondas progressivas em um mesmo sentido e em sentidos opostos (onda estacionária). Identifique e discuta sobre o termo de amplitude e o termo oscilatório.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a função de onda resultante da superposição de duas ondas progressivas no mesmo sentido e de duas ondas progressivas em sentidos opostos, e em seguida identificarmos o termo de amplitude e o termo oscilatório em cada caso. O conteúdo principal aqui é a superposição linear de ondas e o uso de identidades trigonométricas para reescrever somas de cossenos.
Passo 2
Considere duas ondas de amplitudes
e
, número de onda
, frequência angular
e fases iniciais
e
, ambas viajando no sentido positivo de
:
A soma é
onde
. Como
e
têm a mesma base
, podemos usar a fórmula de soma de cossenos com fases diferentes e mostrar que
com
Aqui o termo de amplitude é
, que resulta da combinação vetorial de
e
, e o termo oscilatório é
, que descreve a variação conjunta em
e
de uma onda única viajante.
Passo 3
Agora tome duas ondas de mesma amplitude
viajando em sentidos opostos:
A soma é
Usando a identidade
com
e
, obtemos
Aqui o termo de amplitude é o fator espacial
que não depende de
, e o termo oscilatório é o fator temporal
que não depende de
. Essa forma separada caracteriza a onda estacionária.
Passo 4
Na onda estacionária
aparecem nós (pontos onde
) e ventres (picos onde
é máximo). A dependência espacial em
define a distribuição de amplitude no espaço, enquanto
descreve a oscilação de cada ponto no tempo sem deslocamento de energia ao longo de
.
Resposta
Para ondas no mesmo sentido:
com
e
dado acima.
Amplitude: . Oscilatório:
.
Amplitude:
Para ondas em sentidos opostos (estacionária):
Amplitude espacial:
. Oscilatório temporal:
.