Demonstre as identidades seguintes:
\cos ^{4} x+\operatorname{sen}^{4} x+2(\operatorname{sen} x \cdot \cos x)^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\cos^{4} x+\operatorname{sen}^{4} x+2(\operatorname{sen} x\cdot\cos x)^{2}=1.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve \cos x e \operatorname{sen} x elevados a potências e combinados.
  • O objetivo é mostrar que, para todo x, a soma indicada é igual a 1.
  • É permitido usar identidades e propriedades algébricas padrão (como soma de quadrados, expansão de um quadrado, e a identidade pitagórica entre seno e cosseno).

Passo 2

Primeiro, vou reescrever o termo quadrático para ficar claro o que ele representa. Note que
(\operatorname{sen} x\cdot\cos x)^{2}=(\operatorname{sen} x)^{2}(\cos x)^{2}.
Ou seja, 2(\operatorname{sen} x\cdot\cos x)^{2}=2\operatorname{sen}^{2}x\cos^{2}x.
Isto só é uma notação: elevar o produto ao quadrado é o mesmo que elevar cada fator ao quadrado e multiplicar.

Passo 3

Agora observo uma identidade algébrica simples e muito útil: para quaisquer números a e b,
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Vou aplicar essa identidade com a=(\operatorname{sen} x)^{2} e b=(\cos x)^{2}. Então
\big((\operatorname{sen} x)^{2}+(\cos x)^{2}\big)^{2}=(\operatorname{sen}^{2}x)^{2}+2(\operatorname{sen}^{2}x)(\cos^{2}x)+(\cos^{2}x)^{2}.

Passo 4

Repare que os termos do lado direito da igualdade do passo anterior coincidem com os da expressão que queremos provar: explicitando,
(\operatorname{sen}^{2}x)^{2}=\operatorname{sen}^{4}x,\qquad (\cos^{2}x)^{2}=\cos^{4}x,\qquad 2(\operatorname{sen}^{2}x)(\cos^{2}x)=2(\operatorname{sen} x\cdot\cos x)^{2}.
Portanto temos a igualdade algébrica
\big((\operatorname{sen} x)^{2}+(\cos x)^{2}\big)^{2}=\operatorname{sen}^{4}x+\cos^{4}x+2(\operatorname{sen} x\cdot\cos x)^{2}.

Passo 5

Agora uso uma identidade trigonométrica fundamental (a chamada identidade pitagórica): para todo x,
\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1.
Breve explicação dessa identidade: pontos no círculo trigonométrico têm coordenadas (\cos x,\operatorname{sen} x) e, como estão sobre o círculo unitário, satisfazem \cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x=1. É uma identidade válida para todo número real x.

Passo 6

Substituindo \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1 na igualdade do passo 4, obtemos
\big((\operatorname{sen} x)^{2}+(\cos x)^{2}\big)^{2}=1^{2}=1.
Pelo que foi mostrado no passo 4, o lado esquerdo dessa igualdade é exatamente a expressão original. Assim
\operatorname{sen}^{4}x+\cos^{4}x+2(\operatorname{sen} x\cdot\cos x)^{2}=1.

Resposta

\cos^{4} x+\operatorname{sen}^{4} x+2(\operatorname{sen} x\cdot\cos x)^{2}=1

Exercícios relacionados