Demonstre as identidades seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve
e elevados a potências e combinados. - O objetivo é mostrar que, para todo
, a soma indicada é igual a . - É permitido usar identidades e propriedades algébricas padrão (como soma de quadrados, expansão de um quadrado, e a identidade pitagórica entre seno e cosseno).
Passo 2
Primeiro, vou reescrever o termo quadrático para ficar claro o que ele representa. Note que
Ou seja,
.
Isto só é uma notação: elevar o produto ao quadrado é o mesmo que elevar cada fator ao quadrado e multiplicar.
Isto só é uma notação: elevar o produto ao quadrado é o mesmo que elevar cada fator ao quadrado e multiplicar.
Passo 3
Agora observo uma identidade algébrica simples e muito útil: para quaisquer números
e
,
Vou aplicar essa identidade com
e
. Então
Passo 4
Repare que os termos do lado direito da igualdade do passo anterior coincidem com os da expressão que queremos provar: explicitando,
Portanto temos a igualdade algébrica
Passo 5
Agora uso uma identidade trigonométrica fundamental (a chamada identidade pitagórica): para todo
,
Breve explicação dessa identidade: pontos no círculo trigonométrico têm coordenadas
e, como estão sobre o círculo unitário, satisfazem
. É uma identidade válida para todo número real
.
Passo 6
Substituindo
na igualdade do passo 4, obtemos
Pelo que foi mostrado no passo 4, o lado esquerdo dessa igualdade é exatamente a expressão original. Assim