Sendo sen x=\frac{1}{3} e 0<x<\frac{\pi}{2}, calcule o valor de:
y=\frac{1}{\operatorname{cossec} x+\operatorname{cotg} x}+\frac{1}{\operatorname{cossec} x-\operatorname{cotg} x}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Foi dada a igualdade \sin x=\dfrac{1}{3}.
  • O ângulo satisfaz 0<x<\dfrac{\pi}{2} (ou seja, x é agudo).
    O que se pede:
  • Calcular o valor de
y=\frac{1}{\operatorname{cossec} x+\operatorname{cotg} x}+\frac{1}{\operatorname{cossec} x-\operatorname{cotg} x}.

Passo 2

Primeiro vou lembrar as definições trigonométricas que vou usar (explico cada símbolo):
  • \operatorname{cossec} x é a cossecante, definida por
\operatorname{cossec} x=\frac{1}{\sin x}.
  • \operatorname{cotg} x é a cotangente, definida por
\operatorname{cotg} x=\frac{\cos x}{\sin x}.
Estas fórmulas significam: divide-se 1 por \sin x para obter a cossecante; divide-se \cos x por \sin x para obter a cotangente.

Passo 3

Observação algébrica útil: para quaisquer números a e b com a\pm b\neq0,
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}=\frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{2a}{a^{2}-b^{2}}.
Aqui vou aplicar essa identidade com a=\operatorname{cossec} x e b=\operatorname{cotg} x. Assim
y=\frac{2\,\operatorname{cossec} x}{\operatorname{cossec}^{2}x-\operatorname{cotg}^{2}x}.

Passo 4

Agora uso a relação trigonométrica entre \operatorname{cossec} e \operatorname{cotg}. Partindo das definições:
\operatorname{cossec}^{2}x=\frac{1}{\sin^{2}x}, \qquad \operatorname{cotg}^{2}x=\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}.
Subtraindo,
\operatorname{cossec}^{2}x-\operatorname{cotg}^{2}x =\frac{1}{\sin^{2}x}-\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x} =\frac{1-\cos^{2}x}{\sin^{2}x}.
Como 1-\cos^{2}x=\sin^{2}x, segue que
\operatorname{cossec}^{2}x-\operatorname{cotg}^{2}x=\frac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x}=1.
Portanto a expressão do passo anterior simplifica muito:
y=\frac{2\,\operatorname{cossec} x}{1}=2\,\operatorname{cossec} x.

Passo 5

Agora substituo o valor dado \sin x=\dfrac{1}{3} na definição de \operatorname{cossec} x:
\operatorname{cossec} x=\frac{1}{\sin x}=\frac{1}{\tfrac{1}{3}}=3.
Logo
y=2\,\operatorname{cossec} x=2\cdot 3=6.

Passo 6

Comentário final curto e motivador: a chave foi reconhecer a soma de duas frações conjugadas e usar a identidade \operatorname{cossec}^{2}x-\operatorname{cotg}^{2}x=1, o que torna o cálculo rápido — um truque ótimo para fazer na prova quando aparecem expressões com \operatorname{cossec} e \operatorname{cotg}.

Resposta

6

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