Demonstre as identidades seguintes:
\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{cossec} x}+\frac{\cos x}{\operatorname{sec} x}=1

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{cossec} x}+\frac{\cos x}{\operatorname{sec} x}=1.
Informações dadas: as funções trigonométricas usuais aparecem aqui — \operatorname{sen} x (seno), \cos x (cosseno), \operatorname{cossec} x (cossecante, ou cosecant) e \operatorname{sec} x (secante). A demonstração deve mostrar que a soma das duas frações vale 1 quando as expressões estão bem definidas.

Passo 2

Definições e observações essenciais (essas são as ferramentas que vamos usar).
\operatorname{cossec} x=\csc x=\frac{1}{\sin x},\qquad \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
Observação sobre domínio: as expressões \operatorname{cossec} x e \operatorname{sec} x existem apenas quando \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0, respectivamente. A demonstração algebraica abaixo vale para todos os x tais que \sin x\neq0 e \cos x\neq0.

Passo 3

Calcular a primeira fração usando a definição de \operatorname{cossec} x. Aplicando \operatorname{cossec} x=\dfrac{1}{\sin x} temos
\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{cossec} x} = \operatorname{sen} x \cdot \frac{1}{\operatorname{cossec} x} = \operatorname{sen} x \cdot \frac{1}{\tfrac{1}{\operatorname{sen} x}} = \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}^2 x.
Explicação rápida do passo: dividir por \tfrac{1}{\operatorname{sen} x} é o mesmo que multiplicar por \operatorname{sen} x; regra geral: a/(1/a)=a^2 quando a\neq0.

Passo 4

Calcular a segunda fração usando a definição de \operatorname{sec} x. Aplicando \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} obtemos
\frac{\cos x}{\operatorname{sec} x} = \cos x \cdot \frac{1}{\operatorname{sec} x} = \cos x \cdot \frac{1}{\tfrac{1}{\cos x}} = \cos x \cdot \cos x = \cos^2 x.

Passo 5

Somar os resultados dos passos anteriores:
\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{cossec} x}+\frac{\cos x}{\operatorname{sec} x} = \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x.
Agora usamos a identidade pitagórica fundamental da trigonometria:
\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1\quad\text{para todo }x.
Breve lembrete do porquê dessa identidade: no círculo trigonométrico (raio 1) as coordenadas são (\cos x,\sin x) e, pelo teorema de Pitágoras, \cos^2 x+\sin^2 x=1.

Passo 6

Concluir a demonstração juntando tudo:
\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{cossec} x}+\frac{\cos x}{\operatorname{sec} x}= \operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x=1,
para todo x em que as frações originais estão definidas ( \sin x\neq0 e \cos x\neq0). Se quiser, por continuidade pode-se estender a igualdade ao limite em pontos em que apenas uma das funções se aproxima de zero, mas o enunciado pede a demonstração algébrica direta acima.

Resposta

1

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