Demonstre as identidades seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações dadas: as funções trigonométricas usuais aparecem aqui —
(seno),
(cosseno),
(cossecante, ou cosecant) e
(secante). A demonstração deve mostrar que a soma das duas frações vale
quando as expressões estão bem definidas.
Passo 2
Definições e observações essenciais (essas são as ferramentas que vamos usar).
Observação sobre domínio: as expressões
e
existem apenas quando
e
, respectivamente. A demonstração algebraica abaixo vale para todos os
tais que
e
.
Passo 3
Calcular a primeira fração usando a definição de
. Aplicando
temos
Explicação rápida do passo: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
; regra geral:
quando
.
Passo 4
Calcular a segunda fração usando a definição de
. Aplicando
obtemos
Passo 5
Somar os resultados dos passos anteriores:
Agora usamos a identidade pitagórica fundamental da trigonometria:
Breve lembrete do porquê dessa identidade: no círculo trigonométrico (raio
) as coordenadas são
e, pelo teorema de Pitágoras,
.
Passo 6
Concluir a demonstração juntando tudo:
para todo
em que as frações originais estão definidas (
e
). Se quiser, por continuidade pode-se estender a igualdade ao limite em pontos em que apenas uma das funções se aproxima de zero, mas o enunciado pede a demonstração algébrica direta acima.