Resolva as equações abaixo:
\operatorname{sen} x=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
\operatorname{sen} x = -\frac{\sqrt{3}}{2}
e pede para encontrar todas as soluções x (a solução geral), ou seja, todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades importantes que serão usadas:
\text{(i) } \operatorname{sen} x \text{ é periódica com período } 2\pi,\quad\text{ou seja, se } x_0 \text{ é solução então } x_0+2\pi k \text{ também é, para todo } k\in\mathbb{Z}.éóíéçããéé
\text{(ii) } \operatorname{sen} \theta = -\operatorname{sen}(-\theta).
Também é útil conhecer os valores notáveis da função seno: em particular
\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

A equação pede \operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Observe que isso é o negativo do valor \operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{3}\right). Portanto o ângulo de referência (o ângulo agudo cujo seno tem valor absoluto \dfrac{\sqrt{3}}{2}) é
\alpha=\frac{\pi}{3}.
Em graus, \alpha=60^\circ.

Passo 4

Saber o ângulo de referência ainda não basta: é preciso achar em que quadrantes a função seno é negativa. No círculo trigonométrico:
  • \operatorname{sen} x é positivo nos quadrantes I e II;
  • \operatorname{sen} x é negativo nos quadrantes III e IV.
    Como queremos \operatorname{sen} x negativo, as soluções principais estarão nos quadrantes III e IV, mantendo o mesmo ângulo de referência \alpha.

Passo 5

Agora escrevemos as soluções no intervalo [0,2\pi), usando a posição relativa ao ângulo de referência:
  • Quadrante III: o ângulo correspondente é
x = \pi + \alpha = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.
  • Quadrante IV: o ângulo correspondente é
x = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.

Passo 6

Como a função seno é periódica de período 2\pi, somamos 2\pi k ( k\in\mathbb{Z}) às soluções fundamentais para obter a solução geral. Assim:
x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z},
x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Verificação rápida (mental): para x=\dfrac{4\pi}{3} temos \operatorname{sen}\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Para x=\dfrac{5\pi}{3} também \operatorname{sen}\dfrac{5\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Somando 2\pi k mantém o valor do seno, então as fórmulas acima cobrem todas as soluções.

Resposta

x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\\ k\in\mathbb{Z}
x=\dfrac{5\pi}{3}+2\pi k,\\ k\in\mathbb{Z}

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