Demonstre por indução.
Mostre que, para todo inteiro positivo n, 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar por indução que, para todo inteiro positivo n,
1 + 2 + 2^{2} + \cdots + 2^{n} \;=\; 2^{n+1} - 1.
O método de indução exige dois passos: (i) verificar o caso base e (ii) fazer o passo indutivo.

Passo 2

Caso base n=1:
O lado esquerdo é
1 + 2 = 3,
e o lado direito é
2^{1+1} - 1 = 2^{2} - 1 = 4 - 1 = 3.
Logo, para n=1 a igualdade vale.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha
1 + 2 + 2^{2} + \cdots + 2^{k} = 2^{k+1} - 1.
Então, ao somar o próximo termo 2^{k+1}, obtém-se
1 + 2 + \cdots + 2^{k} + 2^{k+1} = \bigl(2^{k+1} - 1\bigr) + 2^{k+1} = 2\cdot 2^{k+1} - 1 = 2^{(k+1)+1} - 1.
Isto mostra que, se a fórmula é válida para n=k, então ela também vale para n=k+1.

Passo 4

Concluímos, pelo princípio da indução matemática, que a fórmula
1 + 2 + 2^{2} + \cdots + 2^{n} = 2^{n+1} - 1
é verdadeira para todo inteiro positivo n.

Resposta

A igualdade 1 + 2 + 2^{2} + \cdots + 2^{n} = 2^{n+1} - 1 vale para todo inteiro positivo n.

Exercícios relacionados