Identifique os tipos de demonstração:
I - Demonstração Direta II - Demonstração por Contraposição
III - Demonstração por Redução ao Absurdo IV - Demonstração por Indução
( ) Dada uma proposição
a ser provada, assuma inicialmente a hipótese não
, e faça um raciocínio direto a partir desta hipótese até achar uma contradição.
( ) Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese.
( ) Para algumas proposições do tipo
, pode ser mais fácil demonstrar (usando os outros métodos)
.
( ) Para provar que
é verdadeira, no qual
é um inteiro positivo, precisamos provar duas sentenças:
i)
é verdadeira.
ii)
no qual
é um inteiro positivo.
( ) Se um número somado a ele mesmo é ele mesmo, então esse número é 0 .
Demonstração: Podemos supor que
, no qual
denota um número qualquer. Como
, então ambos os lados da equação
podem ser divididos por
, dando
, o que é claramente um absurdo.
( ) Mostre que se
é ímpar, no qual
é um número inteiro, então
é ímpar.
Demonstração: Primeiro assumimos que
é par, ou seja,
. Agora basta verificar que
também é par:
.
( ) Prove que o produto de dois números inteiros pares é par.
Demonstração: Assumindo que os dois números inteiros (aqui chamados
e
) envolvidos no produto são pares, nos dá
e
. Então,
, que por definição é um número par.
( ) Mostre que, para qualquer inteiro positivo
é divisível por 3 .
Demonstração:
é verdade, pois
é divisível por 3. Agora assumimos que
é verdade, ou seja,
para algum inteiro
. A partir disso, precisamos mostrar que
- 1 é divisível por 3 . Temos que
I - Demonstração Direta II - Demonstração por Contraposição
III - Demonstração por Redução ao Absurdo IV - Demonstração por Indução
( ) Dada uma proposição
( ) Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese.
( ) Para algumas proposições do tipo
( ) Para provar que
i)
ii)
( ) Se um número somado a ele mesmo é ele mesmo, então esse número é 0 .
Demonstração: Podemos supor que
( ) Mostre que se
Demonstração: Primeiro assumimos que
( ) Prove que o produto de dois números inteiros pares é par.
Demonstração: Assumindo que os dois números inteiros (aqui chamados
( ) Mostre que, para qualquer inteiro positivo
Demonstração:
Passo 1
O enunciado pede para associar cada descrição de demonstração a um dos quatro métodos: I – direta, II – por contraposição, III – por redução ao absurdo e IV – por indução. Vamos primeiro definir cada método e depois classificar as descrições dadas.
Passo 2
Definições dos métodos:
– Demonstração direta (I): parte da hipótese e usa regras válidas até chegar à conclusão
.
– Demonstração por contraposição (II): para provar , demonstra-se
.
– Demonstração por redução ao absurdo (III): assume-se e obtém-se uma contradição.
– Demonstração por indução (IV): para uma proposição em
, faz-se a base
e o passo
.
– Demonstração direta (I): parte da hipótese
– Demonstração por contraposição (II): para provar
– Demonstração por redução ao absurdo (III): assume-se
– Demonstração por indução (IV): para uma proposição
Passo 3
Classificação dos enunciados 1 e 5 (redução ao absurdo):
- “Dada uma proposição
assuma inicialmente ··· até achar uma contradição.” ↦ III - Demonstração que supõe
e chega a . ↦ III
Passo 4
Classificação dos enunciados 2 e 7 (demonstração direta):
2) “Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese.” ↦ I
7) Demonstração do produto de dois pares assumindo ,
e obtendo
. ↦ I
2) “Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese.” ↦ I
7) Demonstração do produto de dois pares assumindo
Passo 5
Classificação dos enunciados 3 e 6 (contraposição):
3) “Para provar , pode ser mais fácil demonstrar
.” ↦ II
6) Demonstração: “Mostre que se é ímpar então
é ímpar” assumindo
par e mostrando
par. ↦ II
3) “Para provar
6) Demonstração: “Mostre que se
Passo 6
Classificação dos enunciados 4 e 8 (indução):
4) Método que exige provar e
. ↦ IV
8) Demonstração de que é divisível por 3 via caso base e passo indutivo. ↦ IV
4) Método que exige provar
8) Demonstração de que
Resposta
(III) Dada uma proposição
assuma inicialmente
··· até achar uma contradição.
(I) Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese.
(II) Para algumas proposições do tipo , pode ser mais fácil demonstrar
.
(IV) Para provar que é verdadeira, com
, precisamos de
e de
.
(III) Se um número somado a ele mesmo é ele mesmo… assume-se e obtém-se absurdo.
(II) Mostre que se é ímpar então
é ímpar – assumindo
par e mostrando
par.
(I) Prove que o produto de dois números inteiros pares é par – assuma ,
e mostre
.
(IV) Mostre que, para qualquer inteiro positivo ,
é divisível por 3, usando indução.
(I) Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese.
(II) Para algumas proposições do tipo
(IV) Para provar que
(III) Se um número somado a ele mesmo é ele mesmo… assume-se
(II) Mostre que se
(I) Prove que o produto de dois números inteiros pares é par – assuma
(IV) Mostre que, para qualquer inteiro positivo