Identifique os tipos de demonstração:
I - Demonstração Direta II - Demonstração por Contraposição
III - Demonstração por Redução ao Absurdo IV - Demonstração por Indução
( ) Dada uma proposição p a ser provada, assuma inicialmente a hipótese não p, e faça um raciocínio direto a partir desta hipótese até achar uma contradição.
( ) Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese.
( ) Para algumas proposições do tipo p \Rightarrow q, pode ser mais fácil demonstrar (usando os outros métodos) \sim q \Rightarrow \sim p.
( ) Para provar que P(n) é verdadeira, no qual n \geq a é um inteiro positivo, precisamos provar duas sentenças:
i) P(a) é verdadeira.
ii) P(k) \Rightarrow P(k+1) no qual k \geq a é um inteiro positivo.
( ) Se um número somado a ele mesmo é ele mesmo, então esse número é 0 .
Demonstração: Podemos supor que [(x+x=x) \wedge(x \neq 0)], no qual x denota um número qualquer. Como x \neq 0, então ambos os lados da equação 2 x=x podem ser divididos por x, dando 2=1, o que é claramente um absurdo.
( ) Mostre que se 3 n+2 é ímpar, no qual n é um número inteiro, então n é ímpar.
Demonstração: Primeiro assumimos que n é par, ou seja, n=2 k. Agora basta verificar que 3 n+2 também é par: 3(2 k)+2=6 k+2=2(3 k+1).
( ) Prove que o produto de dois números inteiros pares é par.
Demonstração: Assumindo que os dois números inteiros (aqui chamados x e y ) envolvidos no produto são pares, nos dá x=2 m e y=2 n. Então, x y=(2 m)(2 n)= 2(2 m n), que por definição é um número par.
( ) Mostre que, para qualquer inteiro positivo n, 2^{2 n}-1 é divisível por 3 .
Demonstração: P(1) é verdade, pois 2^{2.1}-1=3 é divisível por 3. Agora assumimos que P(k) é verdade, ou seja, 2^{2 k}-1=3 m \Rightarrow 2^{2 k}=3 m+1 para algum inteiro m. A partir disso, precisamos mostrar que 2^{2(k+1)} - 1 é divisível por 3 . Temos que
2^{2(k+1)}-1=2^{2 k+2}-1=2^{2} 2^{2 k}-1=2^{2}(3 m+1)-1=12 m+3=3(4 m+1)

Passo 1

O enunciado pede para associar cada descrição de demonstração a um dos quatro métodos: I – direta, II – por contraposição, III – por redução ao absurdo e IV – por indução. Vamos primeiro definir cada método e depois classificar as descrições dadas.

Passo 2

Definições dos métodos:
– Demonstração direta (I): parte da hipótese \,p e usa regras válidas até chegar à conclusão \,q.
– Demonstração por contraposição (II): para provar \,p\Rightarrow q, demonstra-se \lnot q\Rightarrow\lnot p.
– Demonstração por redução ao absurdo (III): assume-se \lnot p e obtém-se uma contradição.
– Demonstração por indução (IV): para uma proposição P(n) em n\ge a, faz-se a base P(a) e o passo P(k)\Rightarrow P(k+1).

Passo 3

Classificação dos enunciados 1 e 5 (redução ao absurdo):
  1. “Dada uma proposição p\ldots assuma inicialmente \lnot p··· até achar uma contradição.” ↦ III
  2. Demonstração que supõe (x+x=x)\wedge(x\neq0) e chega a 2=1. ↦ III

Passo 4

Classificação dos enunciados 2 e 7 (demonstração direta):
2) “Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese.” ↦ I
7) Demonstração do produto de dois pares assumindo x=2m, y=2n e obtendo xy=2(2mn). ↦ I

Passo 5

Classificação dos enunciados 3 e 6 (contraposição):
3) “Para provar p\Rightarrow q, pode ser mais fácil demonstrar \lnot q\Rightarrow\lnot p.” ↦ II
6) Demonstração: “Mostre que se 3n+2 é ímpar então n é ímpar” assumindo n par e mostrando 3n+2 par. ↦ II

Passo 6

Classificação dos enunciados 4 e 8 (indução):
4) Método que exige provar P(a) e P(k)\Rightarrow P(k+1). ↦ IV
8) Demonstração de que 2^{2n}-1 é divisível por 3 via caso base e passo indutivo. ↦ IV

Resposta

(III) Dada uma proposição p\ldots assuma inicialmente \lnot p··· até achar uma contradição.
(I) Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese.
(II) Para algumas proposições do tipo p\!\Rightarrow\!q, pode ser mais fácil demonstrar \lnot q\!\Rightarrow\!\lnot p.
(IV) Para provar que P(n) é verdadeira, com n\ge a, precisamos de P(a) e de P(k)\!\Rightarrow\!P(k+1).
(III) Se um número somado a ele mesmo é ele mesmo… assume-se (x+x=x)\wedge(x\neq0) e obtém-se absurdo.
(II) Mostre que se 3n+2 é ímpar então n é ímpar – assumindo n par e mostrando 3n+2 par.
(I) Prove que o produto de dois números inteiros pares é par – assuma x=2m, y=2n e mostre xy=2(2mn).
(IV) Mostre que, para qualquer inteiro positivo n, 2^{2n}-1 é divisível por 3, usando indução.

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