Demonstre por indução.
Mostre que r^{0}+r^{1}+r^{2}+\ldots+r^{n}=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}, para todo número real r \neq 1.

Passo 1

O enunciado pede provar por indução em n que
r^{0}+r^{1}+r^{2}+\cdots+r^{n} = \frac{r^{n+1}-1}{r-1},
para todo r\neq1.
Para isso, vamos verificar o caso base n=0 e depois fazer o passo indutivo.

Passo 2

Caso base n=0:
Do lado esquerdo temos
r^{0} = 1.
Do lado direito da fórmula, com n=0, vem
\frac{r^{0+1}-1}{r-1} = \frac{r-1}{r-1} = 1.
Logo, a igualdade vale para n=0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que a fórmula seja válida para n=k, ou seja,
r^{0}+r^{1}+\cdots+r^{k} = \frac{r^{k+1}-1}{r-1}.
Então, para n=k+1 temos
r^{0}+r^{1}+\cdots+r^{k}+r^{k+1} = \bigl(r^{0}+\cdots+r^{k}\bigr) + r^{k+1} = \frac{r^{k+1}-1}{r-1} + r^{k+1}.
Colocando em denominador comum:
\frac{r^{k+1}-1 + r^{k+1}(r-1)}{r-1} = \frac{r^{k+1}-1 + r^{k+2}-r^{k+1}}{r-1} = \frac{r^{k+2}-1}{r-1}.
Isso mostra que a fórmula vale também para n=k+1.
Pelo princípio da indução, a igualdade é verdadeira para todo inteiro n\ge0.

Resposta

r^{0}+r^{1}+r^{2}+\cdots+r^{n} = \frac{r^{n+1}-1}{r-1}.

Exercícios relacionados