Identifique os tipos de demonstração:
I - Demonstração Direta II - Demonstração por Contraposição
III - Demonstração por Redução ao Absurdo IV - Demonstração por Indução
( ) Dada uma proposição
p a ser provada, assuma inicialmente a hipótese não
p, e faça um raciocínio direto a partir desta hipótese até achar uma contradição.
( ) Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese.
( ) Para algumas proposições do tipo
p \Rightarrow q, pode ser mais fácil demonstrar (usando os outros métodos)
\sim q \Rightarrow \sim p.
( ) Para provar que
P(n) é verdadeira, no qual
n \geq a é um inteiro positivo, precisamos provar duas sentenças:
i)
P(a) é verdadeira.
ii)
P(k) \Rightarrow P(k+1) no qual
k \geq a é um inteiro positivo.
( ) Se um número somado a ele mesmo é ele mesmo, então esse número é 0 .
Demonstração: Podemos supor que
[(x+x=x) \wedge(x \neq 0)], no qual
x denota um número qualquer. Como
x \neq 0, então ambos os lados da equação
2 x=x podem ser divididos por
x, dando
2=1, o que é claramente um absurdo.
( ) Mostre que se
3 n+2 é ímpar, no qual
n é um número inteiro, então
n é ímpar.
Demonstração: Primeiro assumimos que
n é par, ou seja,
n=2 k. Agora basta verificar que
3 n+2 também é par:
3(2 k)+2=6 k+2=2(3 k+1).
( ) Prove que o produto de dois números inteiros pares é par.
Demonstração: Assumindo que os dois números inteiros (aqui chamados
x e
y ) envolvidos no produto são pares, nos dá
x=2 m e
y=2 n. Então,
x y=(2 m)(2 n)=
2(2 m n), que por definição é um número par.
( ) Mostre que, para qualquer inteiro positivo
n, 2^{2 n}-1 é divisível por 3 .
Demonstração:
P(1) é verdade, pois
2^{2.1}-1=3 é divisível por 3. Agora assumimos que
P(k) é verdade, ou seja,
2^{2 k}-1=3 m \Rightarrow 2^{2 k}=3 m+1 para algum inteiro
m. A partir disso, precisamos mostrar que
2^{2(k+1)} - 1 é divisível por 3 . Temos que
2^{2(k+1)}-1=2^{2 k+2}-1=2^{2} 2^{2 k}-1=2^{2}(3 m+1)-1=12 m+3=3(4 m+1)