Demonstre que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- Há a função delta de Dirac
centrada em . - Há o fator
multiplicando a delta. - A integral é tomada no intervalo
.
O que precisamos mostrar: o valor numérico dessa integral (espera-se que seja
).
Passo 2
Explicando a propriedade essencial que vamos usar (de forma concreta e sem muita teoria abstrata): a delta de Dirac
tem a chamada propriedade de “peneirar” ou “sifting”. Para qualquer função
contínua em
vale
O que isso significa, em palavras simples: a integral com a delta pega o valor da função
exatamente no ponto onde a delta está concentrada (em
) e ignora o resto. Aqui:
-
é a posição da delta, -
é a função multiplicada pela delta.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso: identifique
Então, pela propriedade de sifting,
Passo 4
Calcule o valor de
no ponto indicado:
Lembrando do círculo trigonométrico (ou das identidades trigonométricas básicas), sabe-se que
Passo 5
Portanto, juntando os passos anteriores, obtemos