Demonstre que:
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-2) \cos \left(\frac{\pi t}{4}\right) d t=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-2)\,\cos\!\left(\frac{\pi t}{4}\right)\,dt.
Informações dadas:
  • Há a função delta de Dirac \delta(t-2) centrada em t=2.
  • Há o fator \cos\!\left(\dfrac{\pi t}{4}\right) multiplicando a delta.
  • A integral é tomada no intervalo (-\infty,+\infty).
O que precisamos mostrar: o valor numérico dessa integral (espera-se que seja 0).

Passo 2

Explicando a propriedade essencial que vamos usar (de forma concreta e sem muita teoria abstrata): a delta de Dirac \delta(t-a) tem a chamada propriedade de “peneirar” ou “sifting”. Para qualquer função f contínua em t=a vale
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-a)\,f(t)\,dt = f(a).
O que isso significa, em palavras simples: a integral com a delta pega o valor da função f exatamente no ponto onde a delta está concentrada (em t=a) e ignora o resto. Aqui:
  • a é a posição da delta,
  • f(t) é a função multiplicada pela delta.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: identifique
a=2,\qquad f(t)=\cos\!\left(\frac{\pi t}{4}\right).
Então, pela propriedade de sifting,
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-2)\,\cos\!\left(\frac{\pi t}{4}\right)\,dt = \cos\!\left(\frac{\pi\cdot 2}{4}\right).

Passo 4

Calcule o valor de \cos no ponto indicado:
\cos\!\left(\frac{\pi\cdot 2}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Lembrando do círculo trigonométrico (ou das identidades trigonométricas básicas), sabe-se que
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.

Passo 5

Portanto, juntando os passos anteriores, obtemos
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-2)\,\cos\!\left(\frac{\pi t}{4}\right)\,dt = 0.

Resposta

0

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