Seja \boldsymbol{t}=-y \hat{\boldsymbol{x}}+x \hat{\boldsymbol{y}} um campo vetorial. Mostre que a integral \frac{1}{2} \oint \boldsymbol{t} \cdot d \boldsymbol{\ell} sobre uma curva fechada no plano x y é igual a área delimitada pela curva:
\frac{1}{2} \oint \boldsymbol{t} \cdot d \boldsymbol{\ell}=A .

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial no plano xy
\boldsymbol{t} = -y\,\hat{\boldsymbol{x}} + x\,\hat{\boldsymbol{y}},
e pede para mostrar que, para uma curva fechada qualquer no plano xy, a integral
\frac{1}{2}\oint \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell}
é igual à área A delimitada por essa curva.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O campo vetorial explicitado acima.
  • A integral é sobre uma curva fechada no plano xy.
  • A representa a área da região encerrada pela curva.
  • Não foi especificado o sentido da curva; a igualdade verdadeira exige orientação positiva (sentido anti-horário). Nesta resolução assumimos a orientação positiva padrão (contrária ao relógio).

Passo 2

Vamos escrever claramente o que significa d\boldsymbol{\ell} e o produto escalar \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
Definição: o elemento de arco no plano é
d\boldsymbol{\ell} = dx\,\hat{\boldsymbol{x}} + dy\,\hat{\boldsymbol{y}}.
Portanto o produto escalar do campo com o elemento de arco é
\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell} = (-y)\,dx + x\,dy.
Isto transforma a integral vetorial numa integral de linha na forma escalar
\oint \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \oint \bigl((-y)\,dx + x\,dy\bigr).

Passo 3

Apresentando a ferramenta principal que vamos usar: o Teorema de Green (caso plano do Teorema de Stokes). Vou explicar ele passo a passo.
O enunciado do Teorema de Green (forma usual): se D é uma região plana com fronteira simples \partial D orientada positivamente, e P(x,y) e Q(x,y) são funções com derivadas parciais contínuas em D, então
\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando cada parte:
  • P\,dx+Q\,dy é a forma que aparece na integral de linha ao longo da fronteira \partial D.
  • O lado direito é uma integral dupla sobre a região D limitada por \partial D.
  • A expressão \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} é a componente z do rotacional (curl) do campo (P,Q) no plano.
  • “Orientação positivamente” significa que a fronteira é percorrida no sentido anti-horário; essa escolha garante o sinal correto.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Green ao caso concreto. Identificamos em nossa integral
P(x,y) = -y,\qquad Q(x,y) = x.
Calculemos as derivadas parciais que aparecem no teorema:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1.
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.

Passo 5

Substituindo no Teorema de Green obtemos
\oint \bigl((-y)\,dx + x\,dy\bigr) = \iint_{D} 2\,dA.
Como 2 é constante, a integral dupla é simplesmente 2 vezes a área da região D:
\iint_{D} 2\,dA = 2\iint_{D} dA = 2A.
Logo
\oint \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell} = 2A.
Dividindo ambos os lados por 2 dá exatamente
\frac{1}{2}\oint \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell} = A,
que é a igualdade que queríamos demonstrar.

Passo 6

Comentário prático e exemplo para fixar a intuição (opcional, mas útil): considere a curva ser um círculo de raio R percorrido anti-horário. Parametrização: x=R\cos\theta,\;y=R\sin\theta com \theta\in[0,2\pi]. Então
dx = -R\sin\theta\,d\theta,\qquad dy = R\cos\theta\,d\theta.
Calculando o integrando,
(-y)\,dx + x\,dy = (-R\sin\theta)(-R\sin\theta\,d\theta) + (R\cos\theta)(R\cos\theta\,d\theta) = R^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\,d\theta = R^2\,d\theta.
Integrando ao longo do círculo:
\oint \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \int_{0}^{2\pi} R^2\,d\theta = 2\pi R^2,
e portanto
\frac{1}{2}\oint \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \pi R^2,
que é a área do círculo — perfeito acordo com a fórmula geral.

Passo 7

Observação final sobre orientação: se a curva for percorrida no sentido horário (orientação negativa), o Teorema de Green dá o sinal oposto, ou seja \oint \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -2A, e então \tfrac{1}{2}\oint \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -A. Por isso é importante a convenção de orientação; seguindo a orientação positiva (anti-horária) temos a igualdade positiva mostrada acima.

Resposta

\dfrac{1}{2}\displaystyle\oint \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{\ell}=A.

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