Seja
um campo vetorial. Mostre que a integral
sobre uma curva fechada no plano
é igual a área delimitada pela curva:
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial no plano
e pede para mostrar que, para uma curva fechada qualquer no plano
, a integral
é igual à área
delimitada por essa curva.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O campo vetorial explicitado acima.
- A integral é sobre uma curva fechada no plano
. -
representa a área da região encerrada pela curva. - Não foi especificado o sentido da curva; a igualdade verdadeira exige orientação positiva (sentido anti-horário). Nesta resolução assumimos a orientação positiva padrão (contrária ao relógio).
Passo 2
Vamos escrever claramente o que significa
e o produto escalar
.
Definição: o elemento de arco no plano é
Definição: o elemento de arco no plano é
Portanto o produto escalar do campo com o elemento de arco é
Isto transforma a integral vetorial numa integral de linha na forma escalar
Passo 3
Apresentando a ferramenta principal que vamos usar: o Teorema de Green (caso plano do Teorema de Stokes). Vou explicar ele passo a passo.
O enunciado do Teorema de Green (forma usual): se é uma região plana com fronteira simples
orientada positivamente, e
e
são funções com derivadas parciais contínuas em
, então
O enunciado do Teorema de Green (forma usual): se
Explicando cada parte:
-
é a forma que aparece na integral de linha ao longo da fronteira . - O lado direito é uma integral dupla sobre a região
limitada por . - A expressão
é a componente do rotacional (curl) do campo no plano. - “Orientação positivamente” significa que a fronteira é percorrida no sentido anti-horário; essa escolha garante o sinal correto.
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Green ao caso concreto. Identificamos em nossa integral
Calculemos as derivadas parciais que aparecem no teorema:
Portanto
Passo 5
Substituindo no Teorema de Green obtemos
Como
é constante, a integral dupla é simplesmente
vezes a área da região
:
Logo
Dividindo ambos os lados por
dá exatamente
que é a igualdade que queríamos demonstrar.
Passo 6
Comentário prático e exemplo para fixar a intuição (opcional, mas útil): considere a curva ser um círculo de raio
percorrido anti-horário. Parametrização:
com
. Então
Calculando o integrando,
Integrando ao longo do círculo:
e portanto
que é a área do círculo — perfeito acordo com a fórmula geral.
Passo 7
Observação final sobre orientação: se a curva for percorrida no sentido horário (orientação negativa), o Teorema de Green dá o sinal oposto, ou seja
, e então
. Por isso é importante a convenção de orientação; seguindo a orientação positiva (anti-horária) temos a igualdade positiva mostrada acima.