Seja \varphi(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3 / 2}. Encontre:
(a) \boldsymbol{\nabla} \varphi no ponto (1,2,3);
(b) |\boldsymbol{\nabla} \varphi| no ponto (1,2,3);
(c) os cossenos diretores de \boldsymbol{\nabla} \varphi no ponto (1,2,3).

Passo 1

O enunciado nos dá a função \varphi(x,y,z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} e pede três coisas no ponto (1,2,3):
  • (a) o vetor gradiente \boldsymbol{\nabla}\varphi em (1,2,3);
  • (b) o módulo |\boldsymbol{\nabla}\varphi| em (1,2,3);
  • (c) os cossenos diretores de \boldsymbol{\nabla}\varphi em (1,2,3).
Informações relevantes que temos:
  • A função depende de x,y,z através de u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • O ponto onde vamos avaliar é (1,2,3), para o qual x^{2}+y^{2}+z^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}=14.

Passo 2

Lembrete prático: o gradiente de uma função escalar \varphi(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
\boldsymbol{\nabla}\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\;\frac{\partial\varphi}{\partial y},\;\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right).
Vou usar essa definição e a regra da cadeia para diferenciar \varphi visto como função de u=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Passo 3

Defino u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
\varphi(u)=u^{-3/2}.
Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{d}{du}\big(u^{-3/2}\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Calculo cada parte:
\frac{d}{du}\big(u^{-3/2}\big) = -\tfrac{3}{2}u^{-5/2}, \qquad \frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Portanto
\frac{\partial\varphi}{\partial x} = -\tfrac{3}{2}u^{-5/2}\cdot 2x = -3x\,u^{-5/2}.

Passo 4

Pelo mesmo raciocínio para y e z obtemos:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = -3y\,u^{-5/2},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z} = -3z\,u^{-5/2}.
Assim o gradiente geral é
\boldsymbol{\nabla}\varphi = -3\,u^{-5/2}\,(x,y,z).
Substituindo u=x^{2}+y^{2}+z^{2} obtemos a forma explícita
\boldsymbol{\nabla}\varphi = -3\,(x,y,z)\,\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{-5/2}.

Passo 5

Agora avalio em (1,2,3). Primeiro, como já notei,
u(1,2,3)=1^{2}+2^{2}+3^{2}=14.
Portanto
\boldsymbol{\nabla}\varphi(1,2,3) = -3\,(1,2,3)\,14^{-5/2}.
Escrevendo componente a componente:
\boldsymbol{\nabla}\varphi(1,2,3)=\left(-\frac{3}{14^{5/2}},\; -\frac{6}{14^{5/2}},\; -\frac{9}{14^{5/2}}\right).
(Observação: 14^{5/2}=14^{2}\sqrt{14}=196\sqrt{14}, se quiser outra forma.)

Passo 6

Para o módulo do gradiente uso a propriedade de fator comum. A partir de
\boldsymbol{\nabla}\varphi = -3\,u^{-5/2}\,(x,y,z),
temos
|\boldsymbol{\nabla}\varphi| = 3\,u^{-5/2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Como \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{u}=u^{1/2}, simplifica-se:
|\boldsymbol{\nabla}\varphi| = 3\,u^{-5/2}\,u^{1/2}=3\,u^{-2}.
Ou seja, em geral
|\boldsymbol{\nabla}\varphi|=\frac{3}{\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{2}}.

Passo 7

Avalio o módulo em (1,2,3) usando u=14:
|\boldsymbol{\nabla}\varphi(1,2,3)|=\frac{3}{14^{2}}=\frac{3}{196}.

Passo 8

Os cossenos diretores são as componentes do versor (vetor unitário) na direção de \boldsymbol{\nabla}\varphi. Ou seja,
\hat{\mathbf{u}}=\frac{\boldsymbol{\nabla}\varphi}{|\boldsymbol{\nabla}\varphi|}.
Como \boldsymbol{\nabla}\varphi = -3\,u^{-5/2}\,(x,y,z) e |\boldsymbol{\nabla}\varphi|=3\,u^{-2}, ao dividir:
\hat{\mathbf{u}} = \frac{-3\,u^{-5/2}\,(x,y,z)}{3\,u^{-2}} = - (x,y,z)\,u^{-1/2}.
Portanto os cossenos diretores em (1,2,3) são as componentes de
- \frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}}.

Passo 9

Escrevendo explicitamente os três cossenos diretores:
\left(-\frac{1}{\sqrt{14}},\; -\frac{2}{\sqrt{14}},\; -\frac{3}{\sqrt{14}}\right).

Resposta

\boldsymbol{\nabla}\varphi(1,2,3)=\left(-\dfrac{3}{14^{5/2}},\; -\dfrac{6}{14^{5/2}},\; -\dfrac{9}{14^{5/2}}\right)\n
|\boldsymbol{\nabla}\varphi(1,2,3)|=\dfrac{3}{196}\n
Cossenos diretores: \left(-\dfrac{1}{\sqrt{14}},\; -\dfrac{2}{\sqrt{14}},\; -\dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)

Exercícios relacionados