Seja
. Encontre:
(a)
no ponto
;
(b)
no ponto
;
(c) os cossenos diretores de
no ponto
.
(a)
(b)
(c) os cossenos diretores de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas no ponto
:
- (a) o vetor gradiente
em ; - (b) o módulo
em ; - (c) os cossenos diretores de
em .
Informações relevantes que temos:
- A função depende de
através de . - O ponto onde vamos avaliar é
, para o qual .
Passo 2
Lembrete prático: o gradiente de uma função escalar
é o vetor das derivadas parciais:
Vou usar essa definição e a regra da cadeia para diferenciar
visto como função de
.
Passo 3
Defino
, então
Aplicando a regra da cadeia para
:
Calculo cada parte:
Portanto
Passo 4
Pelo mesmo raciocínio para
e
obtemos:
Assim o gradiente geral é
Substituindo
obtemos a forma explícita
Passo 5
Agora avalio em
. Primeiro, como já notei,
Portanto
Escrevendo componente a componente:
(Observação:
, se quiser outra forma.)
Passo 6
Para o módulo do gradiente uso a propriedade de fator comum. A partir de
temos
Como
, simplifica-se:
Ou seja, em geral
Passo 7
Avalio o módulo em
usando
:
Passo 8
Os cossenos diretores são as componentes do versor (vetor unitário) na direção de
. Ou seja,
Como
e
, ao dividir:
Portanto os cossenos diretores em
são as componentes de
Passo 9
Escrevendo explicitamente os três cossenos diretores:
Resposta
Cossenos diretores: