Demonstre que:
\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1}+t a_{1} & c_{1}+r b_{1}+s a_{1} \a_{2} & b_{2}+t a_{2} & c_{2}+r b_{2}+s a_{2} \a_{3} & b_{3}+t a_{3} & c_{3}+r b_{3}+s a_{3}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \b_{1} & b_{2} & b_{3} \c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante
D=\left|\begin{matrix} a_{1} & b_{1}+t\,a_{1} & c_{1}+r\,b_{1}+s\,a_{1} \\\ a_{2} & b_{2}+t\,a_{2} & c_{2}+r\,b_{2}+s\,a_{2} \\\ a_{3} & b_{3}+t\,a_{3} & c_{3}+r\,b_{3}+s\,a_{3} \end{matrix}\right|
é igual a
D'=\left|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}\right|.
Vamos usar operações elementares em colunas, as quais não alteram o valor do determinante.

Passo 2

Aplicamos em D a operação elementar
C_{2}\;\leftarrow\;C_{2}-t\,C_{1}.
Cada entrada da coluna 2 passa de b_{i}+t\,a_{i} para
(b_{i}+t\,a_{i})-t\,a_{i}=b_{i}.
Como adicionar múltiplos de uma coluna a outra não muda o determinante, o valor permanece D.

Passo 3

Em seguida, em D já com a nova coluna 2, aplicamos
C_{3}\;\leftarrow\;C_{3}-r\,C_{2}-s\,C_{1}.
Cada entrada da coluna 3 passa de c_{i}+r\,b_{i}+s\,a_{i} para
(c_{i}+r\,b_{i}+s\,a_{i})-r\,b_{i}-s\,a_{i}=c_{i}.
Novamente, o determinante não se altera.

Passo 4

Após essas operações, as colunas do determinante são
C_{1}=(a_{1},a_{2},a_{3}),\quad C_{2}=(b_{1},b_{2},b_{3}),\quad C_{3}=(c_{1},c_{2},c_{3}),
portanto o determinante final é
\left|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}\right| = D'.

Resposta

\left|\begin{matrix} a_{1} & b_{1}+t\,a_{1} & c_{1}+r\,b_{1}+s\,a_{1} \\\ a_{2} & b_{2}+t\,a_{2} & c_{2}+r\,b_{2}+s\,a_{2} \\\ a_{3} & b_{3}+t\,a_{3} & c_{3}+r\,b_{3}+s\,a_{3} \end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}\right|.

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