Demonstre que \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer números reais a e b\neq0, vale
\left|\frac{a}{b}\right| \;=\;\frac{\lvert a\rvert}{\lvert b\rvert}.
O conteúdo que vamos usar é a propriedade multiplicativa do valor absoluto, isto é,
\lvert x y\rvert = \lvert x\rvert\,\lvert y\rvert,
e também o fato de que \lvert1\rvert=1.

Passo 2

Repare que
\frac{a}{b} \;=\; a\;\cdot\;\frac{1}{b}.
Aplicando a propriedade multiplicativa em \lvert a\cdot\tfrac1b\rvert, obtemos
\left\lvert \frac{a}{b}\right\rvert =\lvert a\rvert\,\bigl\lvert\tfrac1b\bigr\rvert.

Passo 3

Para concluir, precisamos mostrar que
\bigl\lvert\tfrac1b\bigr\rvert \;=\;\frac{1}{\lvert b\rvert}.
Como b\neq0, temos b\cdot\tfrac1b=1. Tomando valor absoluto em cada lado:
\lvert b\cdot\tfrac1b\rvert = \lvert1\rvert = 1.
Pela multiplicatividade,
\lvert b\rvert\,\bigl\lvert\tfrac1b\bigr\rvert = 1.
Como \lvert b\rvert>0, dividimos ambos os lados por \lvert b\rvert e achamos
\bigl\lvert\tfrac1b\bigr\rvert = \frac{1}{\lvert b\rvert}.

Passo 4

Substituindo esse resultado em \lvert a\rvert\,\bigl\lvert\tfrac1b\bigr\rvert, vem
\left\lvert \frac{a}{b}\right\rvert =\lvert a\rvert\,\frac{1}{\lvert b\rvert} =\frac{\lvert a\rvert}{\lvert b\rvert},
que era exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

\left\lvert \frac{a}{b}\right\rvert = \frac{\lvert a\rvert}{\lvert b\rvert}.

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