(2,0) Encontre a derivada y^{\prime}, onde
y=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} .

Passo 1

O enunciado define a função
y = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}
e pede y'. Vamos usar a regra do quociente, lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2} e que sua derivada é \tfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 2

Definimos
u(x) = \sqrt{x}-1,\quad v(x)=\sqrt{x}+1.
Então
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Pela regra do quociente,
y'=\frac{u'v - uv'}{v^{2}} =\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-1)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^{2}}.
No numerador vemos
\frac{1}{2\sqrt{x}}\bigl[(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-1)\bigr] =\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot 2 =\frac{1}{\sqrt{x}}.

Passo 4

Substituindo no quociente final,
y'=\frac{\tfrac{1}{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^{2}} =\frac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)^{2}}.

Resposta

y'=\frac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)^{2}}.

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