Demonstre a lei da conservação do momento linear para um sistema de n partículas. Faça sua resposta na forma de um texto justificando as passagens matemáticas, e explicando o significado físico das equações.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede que a gente demonstre a lei da conservação do momento linear para um sistema de
partículas. Isso é conteúdo de Mecânica Clássica, mais especificamente de momento linear e das Leis de Newton. Para resolver, vamos precisar:
- Definir o momento linear de cada partícula.
- Somar esses momentos para ter o momento total do sistema.
- Aplicar a Segunda Lei de Newton
a cada partícula, separando forças internas e externas. - Usar a Terceira Lei de Newton para ver que as forças internas se cancelam.
Passo 2
Primeiro, define o momento linear de cada partícula
como
onde
é a massa e
a velocidade. O momento total do sistema de
partículas é a soma:
Aqui a teoria que usamos é só a definição de momento linear: “quantidade de movimento” de cada partícula, e o total é a soma.
Passo 3
Agora vamos ver como esse total muda no tempo. Diferenciando
em relação a
:
Como
é constante, isso vira
Pela Segunda Lei de Newton,
, a força total sobre
. Essa força total se divide entre forças internas (de outras partículas do sistema) e forças externas:
Logo
Passo 4
Chegou a hora de usar a Terceira Lei de Newton: para cada par de partículas
e
, a força que
faz em
(
) é igual e oposta à força que
faz em
(
). Quando a gente soma todas as
, cada par cancela:
Então sobra só a soma das forças externas:
Físicamente, isso diz que a única coisa que pode mudar o “quantidade de movimento” total do sistema são forças vindas de fora. As interações internas não alteram o total, pois se compensam.
Passo 5
Da expressão
fica claro que se não houver forças externas atuando (
), então
Isso é exatamente a lei da conservação do momento linear: sem “empurrões” de fora, a quantidade de movimento total não muda.
Resposta
A derivada do momento total do sistema é igual à soma das forças externas:
Assim, se
, o momento linear total
se conserva.