Demonstre a lei da conservação do momento linear para um sistema de n partículas. Faça sua resposta na forma de um texto justificando as passagens matemáticas, e explicando o significado físico das equações.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede que a gente demonstre a lei da conservação do momento linear para um sistema de partículas. Isso é conteúdo de Mecânica Clássica, mais especificamente de momento linear e das Leis de Newton. Para resolver, vamos precisar:
  1. Definir o momento linear de cada partícula.
  2. Somar esses momentos para ter o momento total do sistema.
  3. Aplicar a Segunda Lei de Newton a cada partícula, separando forças internas e externas.
  4. Usar a Terceira Lei de Newton para ver que as forças internas se cancelam.

Passo 2

Primeiro, define o momento linear de cada partícula pi = mi,vi, como
P = sumi=1^n pi = sumi=1^n mi,vi
onde é a massa e a velocidade. O momento total do sistema de partículas é a soma:
Aqui a teoria que usamos é só a definição de momento linear: “quantidade de movimento” de cada partícula, e o total é a soma.

Passo 3

Agora vamos ver como esse total muda no tempo. Diferenciando dPdt = sumi=1^n dpidt = sumi=1^n ddtl(mi,vir) em relação a dPdt = sumi=1^n mi,dvidt = sumi=1^n mi,ai :
Fi^tot = Fi^int + Fi^ext
Como dPdt = sumi=1^n l(Fi^int + Fi^extr) = sumi=1^n Fi^int + sumi=1^n Fi^ext é constante, isso vira
Pela Segunda Lei de Newton, , a força total sobre . Essa força total se divide entre forças internas (de outras partículas do sistema) e forças externas:
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Passo 4

Chegou a hora de usar a Terceira Lei de Newton: para cada par de partículas sumi=1^n Fi^int = sumi e dPdt = sumi=1^n Fi^ext , a força que faz em ( ) é igual e oposta à força que faz em ( ). Quando a gente soma todas as , cada par cancela:
Então sobra só a soma das forças externas:
Físicamente, isso diz que a única coisa que pode mudar o “quantidade de movimento” total do sistema são forças vindas de fora. As interações internas não alteram o total, pois se compensam.

Passo 5

Da expressão
dPdt = sumi=1^n Fi^ext,
fica claro que se não houver forças externas atuando ( dPdt = 0 Longrightarrow P = constante ), então
Isso é exatamente a lei da conservação do momento linear: sem “empurrões” de fora, a quantidade de movimento total não muda.

Resposta

A derivada do momento total do sistema é igual à soma das forças externas:
dPdt = sumi=1^n Fi^ext
Assim, se , o momento linear total se conserva.

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