xj=sumk=1^2 aj k^prime xk^prime, onde aj k^prime=partial xjpartial xk^prime
(b) Verifique explicitamente que sumell=1^2 aell j aell k^prime=de, onde de é a delta de Kronecker.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma mudança de coordenadas em 2 dimensões
xj ;=;sumk=1^2 a'jk,x'k com a'jk=partial xjpartial x'k,
Queremos mostrar que, se definirmos
aell j=partial x'ellpartial xj,,
então vale
sumell=1^2 aell j,a'ell k ;=;de
onde de é a delta de Kronecker.
Matéria envolvida: derivadas parciais e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, a gente nota que a matriz a'jk expressa xj em função de x'k. Como esperamos que essa mudança seja invertível, existe também a transformação inversa
x'ell ;=;sumj=1^2 aell j,xj, aell j=partial x'ellpartial xj,
Em outras palavras, a e a' são as matrizes jacobianas inversas uma da outra.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais. Sabemos que
partial x'ellpartial x'k =sumj=1^2 partial x'ellpartial xj, partial xjpartial x'k =sumj=1^2 aell j,a'jk
Por outro lado, derivative de uma variável em si mesma dá 1, e de variáveis diferentes dá 0, logo
partial x'ellpartial x'k=de

Passo 4

Comparando as duas expressões, concluímos imediatamente que
sumj=1^2 aell j,a'jk ;=;de
Basta agora trocar o nome do índice livre ellto m e reordenar para escrever exatamente na forma pedida:
summ=1^2 am j,a'm k=de

Resposta

boxedsumell=1^2 aell j,a'ell k = de

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