(b) Verifique explicitamente que
, onde
é a delta de Kronecker.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma mudança de coordenadas em 2 dimensões
Queremos mostrar que, se definirmos
então vale
onde
é a delta de Kronecker.
Matéria envolvida: derivadas parciais e regra da cadeia.
Matéria envolvida: derivadas parciais e regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, a gente nota que a matriz
expressa
em função de
. Como esperamos que essa mudança seja invertível, existe também a transformação inversa
Em outras palavras,
e
são as matrizes jacobianas inversas uma da outra.
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais. Sabemos que
Por outro lado, derivative de uma variável em si mesma dá 1, e de variáveis diferentes dá 0, logo
Passo 4
Comparando as duas expressões, concluímos imediatamente que
Basta agora trocar o nome do índice livre
e reordenar para escrever exatamente na forma pedida: