Demonstre a lei dos cossenos, a qual afirma que, em um triângulo ABC ,
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A
Observe que se A=90^{\circ}, temos o Teorema de Pitágoras.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a lei dos cossenos, ou seja, mostrar que, num triângulo ABC,
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A.
Informações dadas (notação que usaremos):
A,B,C são os vértices do triângulo.
a é o comprimento do lado oposto a A (portanto a=BC).
b é o comprimento do lado oposto a B (portanto b=AC).
c é o comprimento do lado oposto a C (portanto c=AB).
O objetivo é obter a relação acima entre a,b,c e o cosseno do ângulo A.
Passo 2
Vou fixar um sistema de coordenadas conveniente para tornar a demonstração limpa e geométrica (não se preocupe: é só um truque que facilita as contas). Coloco o vértice A na origem do plano, e faço com que o lado AB fique sobre o eixo x positivo. Assim:
A=(0,0).
Como AB=c e está sobre o eixo x positivo, o ponto B tem coordenadas B=(c,0).
O segmento AC tem comprimento b e forma ângulo A com AB, então o ponto C tem coordenadas que dependem de b e do ângulo A. Vou escrever isso com funções trigonométricas.
Passo 3
Lembrete rápido sobre seno e cosseno (fundamental aqui):
Se um vetor tem comprimento r e faz um ângulo \theta com o eixo x, as suas componentes cartesianas são (r\cos\theta,\; r\sin\theta).
Esta é a definição geométrica de \cos e \sin usada para projetar um segmento sobre os eixos.
Além disso vale a identidade pitagórica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Aplicando isso ao segmento AC (comprimento b, ângulo A com o eixo x), temos
C=(b\cos A,\; b\sin A).
Passo 4
Agora escrevo o vetor \overrightarrow{BC} como a diferença das coordenadas de C e B:
\overrightarrow{BC}=C-B=(b\cos A - c,\; b\sin A).
O comprimento do lado a é justamente a norma (módulo) desse vetor:
a=\bigl\lVert\overrightarrow{BC}\bigr\rVert.
Passo 5
Uso o Teorema de Pitágoras na forma das componentes para obter a^{2}:
a^{2}=(b\cos A - c)^{2} + (b\sin A)^{2}.
Vou agora desenvolver e simplificar passo a passo.
Passo 6
Expandindo o quadrado e agrupando termos:
a^{2}=b^{2}\cos^{2}A -2bc\cos A + c^{2} + b^{2}\sin^{2}A.
Reagrupando os termos com b^{2}:
a^{2}=b^{2}(\cos^{2}A+\sin^{2}A) + c^{2} -2bc\cos A.
Agora uso a identidade pitagórica \cos^{2}A+\sin^{2}A=1. Substituindo:
a^{2}=b^{2}\cdot 1 + c^{2} -2bc\cos A.
Portanto
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,
que é exatamente a lei dos cossenos.
Passo 7
Comentários finais e verificação do caso especial:
A demonstração acima é válida para qualquer ângulo A, inclusive obtuso; quando A é obtuso tem-se \cos A<0 e o termo -2bc\cos A passa a adicionar (em vez de subtrair) valor a b^{2}+c^{2}, o que coincide com a geometria do triângulo obtuso.
No caso A=90^\circ temos \cos A=0, então a fórmula reduz-se a
a^{2}=b^{2}+c^{2},
que é exatamente o Teorema de Pitágoras. Portanto a lei dos cossenos contém o Teorema de Pitágoras como caso especial.