- Num triângulo ABC , retângulo em
, temos
. As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto
. Se o segmento de reta
mede 1 cm , determine a medida da hipotenusa.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
reto em
(ou seja,
) e
. As bissetrizes desses ângulos se encontram no ponto
. Foi informado que o segmento
mede
. O pedido é: determinar a medida da hipotenusa
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. - As bissetrizes se encontram em
(então é o incentro do triângulo). -
. - Procurar: comprimento da hipotenusa
.
Passo 2
Entender o papel do ponto
(incentro) e a relação entre
e o raio da circunferência inscrita (inradio)
.
O incentro
é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos do triângulo; é o centro da circunferência inscrita, cuja distância até cada lado é justamente o inradio
. Se traçarmos do incentro
a perpendicular até o lado
, obtemos um segmento de comprimento
que é perpendicular a
.
Agora, considere o triângulo retângulo formado por
,
e o pé da perpendicular do incentro em
(chame esse pé de
). Nesse triângulo retângulo
:
- o ângulo em
vale metade de , isto é ; - a cateto oposto a
é ; - a hipotenusa é
.
Da definição de seno em um triângulo retângulo:
Dessa igualdade segue a relação útil
Passo 3
Usar a fórmula anterior para calcular o inradio
a partir de
e
.
Primeiro calcule
:
Sabendo que
, da relação
obtemos
Logo
Passo 4
Explorar as proporções do triângulo retângulo com ângulos
para relacionar
com a hipotenusa.
Como
e
, segue que
. Num triângulo retângulo com ângulos
e
:
- o cateto oposto a
(chame-o de ) é o cateto menor; - a hipotenusa é o dobro desse cateto menor, isto é
; - o outro cateto é
.
Podemos justificar rapidamente usando seno:
implica
; e
.
Denotando
(cateto menor, oposto a
),
(cateto maior) e
(hipotenusa).
Passo 5
Expressar o inradio
em função dos lados do triângulo e substituir as proporções para obter
.
Fórmula geral para o inradio
de um triângulo:
, onde
é a área e
o semiperímetro. Para o triângulo retângulo em questão:
- área
; - semiperímetro
.
Logo
Uma forma alternativa e mais direta, que também é fácil de verificar, é escrever (para um triângulo retângulo com catetos
e hipotenusa
):
Usando
,
,
,
(As duas expressões são equivalentes; aqui usaremos a segunda porque fica bem direta.)
Passo 6
Substituir
na expressão obtida e resolver para
, depois obter a hipotenusa
.
Da expressão
e sabendo
, tem-se
Multiplicando ambos os lados por
:
Logo
Racionalizando o denominador:
A hipotenusa é
, então