1. Num triângulo ABC , retângulo em \hat{A}, temos \hat{B}=60^{\circ}. As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto D. Se o segmento de reta B D mede 1 cm , determine a medida da hipotenusa.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC reto em \hat{A} (ou seja, \hat{A}=90^\circ) e \hat{B}=60^\circ. As bissetrizes desses ângulos se encontram no ponto D. Foi informado que o segmento BD mede 1\\ \text{cm}. O pedido é: determinar a medida da hipotenusa BC.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \hat{A}=90^\circ.
  • \hat{B}=60^\circ.
  • As bissetrizes se encontram em D (então D é o incentro do triângulo).
  • BD=1\\ \text{cm}.
  • Procurar: comprimento da hipotenusa BC.

Passo 2

Entender o papel do ponto D (incentro) e a relação entre BD e o raio da circunferência inscrita (inradio) r.
O incentro D é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos do triângulo; é o centro da circunferência inscrita, cuja distância até cada lado é justamente o inradio r. Se traçarmos do incentro D a perpendicular até o lado BC, obtemos um segmento de comprimento r que é perpendicular a BC.
Agora, considere o triângulo retângulo formado por B, D e o pé da perpendicular do incentro em BC (chame esse pé de E). Nesse triângulo retângulo \triangle BDE:
  • o ângulo em B vale metade de \hat{B}, isto é \dfrac{\hat{B}}{2};
  • a cateto oposto a \dfrac{\hat{B}}{2} é DE=r;
  • a hipotenusa é BD.
Da definição de seno em um triângulo retângulo:
\sin\!\left(\frac{\hat{B}}{2}\right)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{r}{BD}.
Dessa igualdade segue a relação útil
BD=\frac{r}{\sin\!\left(\dfrac{\hat{B}}{2}\right)}.

Passo 3

Usar a fórmula anterior para calcular o inradio r a partir de BD=1 e \hat{B}=60^\circ.
Primeiro calcule \dfrac{\hat{B}}{2}:
\frac{\hat{B}}{2}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.
Sabendo que \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, da relação
BD=\frac{r}{\sin\!\left(\dfrac{\hat{B}}{2}\right)}
obtemos
1=BD=\frac{r}{\sin 30^\circ}=\frac{r}{\tfrac{1}{2}}.
Logo
r=\frac{1}{2}\\ \text{cm}.

Passo 4

Explorar as proporções do triângulo retângulo com ângulos \,30^\circ,\,60^\circ,\,90^\circ\, para relacionar r com a hipotenusa.
Como \hat{A}=90^\circ e \hat{B}=60^\circ, segue que \hat{C}=30^\circ. Num triângulo retângulo com ângulos 30^\circ e 60^\circ:
  • o cateto oposto a 30^\circ (chame-o de x) é o cateto menor;
  • a hipotenusa é o dobro desse cateto menor, isto é BC=2x;
  • o outro cateto é x\sqrt{3}.
Podemos justificar rapidamente usando seno: \sin 30^\circ=\dfrac{x}{BC}=\dfrac{1}{2} implica BC=2x; e \sin 60^\circ=\dfrac{x\sqrt{3}}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Denotando AB=x (cateto menor, oposto a 30^\circ), AC=x\sqrt{3} (cateto maior) e BC=2x (hipotenusa).

Passo 5

Expressar o inradio r em função dos lados do triângulo e substituir as proporções para obter x.
Fórmula geral para o inradio r de um triângulo: r=\dfrac{A}{s}, onde A é a área e s o semiperímetro. Para o triângulo retângulo em questão:
  • área A=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{x\cdot (x\sqrt{3})}{2}=\dfrac{x^2\sqrt{3}}{2};
  • semiperímetro s=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{x+x\sqrt{3}+2x}{2}=\dfrac{x(3+\sqrt{3})}{2}.
Logo
r=\frac{A}{s}=\frac{\dfrac{x^2\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{x(3+\sqrt{3})}{2}}=\frac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}.
Uma forma alternativa e mais direta, que também é fácil de verificar, é escrever (para um triângulo retângulo com catetos p,q e hipotenusa c):
r=\frac{p+q-c}{2}.
Usando p=x, q=x\sqrt{3}, c=2x,
r=\frac{x+x\sqrt{3}-2x}{2}=\frac{x(\sqrt{3}-1)}{2}.
(As duas expressões são equivalentes; aqui usaremos a segunda porque fica bem direta.)

Passo 6

Substituir r=\dfrac{1}{2} na expressão obtida e resolver para x, depois obter a hipotenusa BC.
Da expressão
r=\frac{x(\sqrt{3}-1)}{2}
e sabendo r=\dfrac{1}{2}, tem-se
\frac{1}{2}=\frac{x(\sqrt{3}-1)}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2:
1 = x(\sqrt{3}-1).
Logo
x=\frac{1}{\sqrt{3}-1}.
Racionalizando o denominador:
x=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.
A hipotenusa é BC=2x, então
BC=2x=2\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\sqrt{3}+1.

Resposta

\sqrt{3}+1\\ \text{cm}

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