1. Use a Lei dos Senos para mostrar que a área de um triângulo ABC vale
[A B C]=\frac{a b c}{4 R}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC e pede para mostrar que a área dele satisfaz
[ABC]=\frac{a b c}{4 R}.
Informações e notação que vamos usar (peguei estas informações do enunciado):
  • a é o comprimento do lado oposto ao vértice A, ou seja a=BC.
  • b é o comprimento do lado oposto ao vértice B, ou seja b=CA.
  • c é o comprimento do lado oposto ao vértice C, ou seja c=AB.
  • R é o raio do circuncírculo do triângulo (circunferência que passa por A,B,C).
  • [ABC] denota a área do triângulo ABC.
    O que se pede: provar a igualdade acima, expressando a área em função de a,b,c e R.

Passo 2

Fórmula básica para a área usando dois lados e o ângulo entre eles. Vou explicar e justificar com calma.
Selecione os dois lados que formam o ângulo em A, que são b=CA e c=AB. A área de um triângulo pode ser calculada como metade do produto de uma base pelo respectivo altura. Tomando b como base, a altura relativa a essa base é a distância do vértice B até a reta AC. Essa altura vale c\sin A, porque ao projetar o lado c perpendicularmente a AC obtém-se um segmento de comprimento c\sin A (definição de seno em um triângulo retângulo: seno do ângulo é cateto oposto dividido pela hipotenusa).
Portanto, a área é
[ABC]=\frac{1}{2}\times\text{(base)}\times\text{(altura)}=\frac{1}{2}\,b\,(c\sin A).
Assim temos a fórmula padrão
[ABC]=\frac{1}{2}\,b c \sin A.
(Na mesma ideia dá para escrever [ABC]=\tfrac{1}{2}ac\sin B=\tfrac{1}{2}ab\sin C.)

Passo 3

Lei dos senos e sua forma útil com o raio do circuncírculo. Vou explicar por que vale a=2R\sin A.
Considere o circuncentro O (centro do círculo que passa por A,B,C), de modo que OA=OB=OC=R. O arco que subtende o lado BC corresponde ao ângulo central \angle BOC, e a propriedade geométrica diz que esse ângulo central vale o dobro do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco, ou seja \angle BOC=2A.
No triângulo isósceles BOC temos os lados iguais OB=OC=R e o lado BC de comprimento a. Se traçarmos a bissetriz do ângulo \angle BOC (ou seja, o segmento que vai de O ao ponto médio de BC), obtemos um triângulo retângulo com hipotenusa R, ângulo agudo igual a A e cateto oposto igual a a/2. Pela definição do seno em triângulos retângulos:
\sin A=\frac{a/2}{R}.
Rearranjando,
a=2R\sin A.
Esse raciocínio vale ciclicamente para os outros lados, portanto a Lei dos Senos pode ser escrita como
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.

Passo 4

Expressar \sin A em termos de a e R e substituir na fórmula da área.
Da relação a=2R\sin A isolamos \sin A:
\sin A=\frac{a}{2R}.
Agora substituímos essa expressão na fórmula da área obtida no Passo 2:
[ABC]=\frac{1}{2}\,b c \sin A=\frac{1}{2}\,b c\left(\frac{a}{2R}\right).
Fazendo as simplificações (multiplicando numerador e denominador):
[ABC]=\frac{a b c}{4R}.

Passo 5

Interpretação final e pequena verificação mental.
A fórmula ficou simétrica: qualquer escolha de ângulo leva ao mesmo resultado porque a Lei dos Senos fornece expressões equivalentes para \sin A,\sin B,\sin C. Para conferir mentalmente, num triângulo equilátero de lado s tem-se a=b=c=s e R=s/\sqrt{3}; substituindo na fórmula obtém-se a área conhecida [ABC]=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2, o que é uma boa checagem rápida.
Vai dar tudo certo na prova: a ideia-chave é lembrar da fórmula [ABC]=\tfrac{1}{2}bc\sin A e da Lei dos Senos a=2R\sin A, combiná-las e simplificar.

Resposta

[ABC]=\frac{a b c}{4 R}

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