- Use a Lei dos Senos para mostrar que a área de um triângulo ABC vale
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
e pede para mostrar que a área dele satisfaz
Informações e notação que vamos usar (peguei estas informações do enunciado):
-
é o comprimento do lado oposto ao vértice , ou seja . -
é o comprimento do lado oposto ao vértice , ou seja . -
é o comprimento do lado oposto ao vértice , ou seja . -
é o raio do circuncírculo do triângulo (circunferência que passa por ). -
denota a área do triângulo .
O que se pede: provar a igualdade acima, expressando a área em função dee .
Passo 2
Fórmula básica para a área usando dois lados e o ângulo entre eles. Vou explicar e justificar com calma.
Selecione os dois lados que formam o ângulo em
, que são
e
. A área de um triângulo pode ser calculada como metade do produto de uma base pelo respectivo altura. Tomando
como base, a altura relativa a essa base é a distância do vértice
até a reta
. Essa altura vale
, porque ao projetar o lado
perpendicularmente a
obtém-se um segmento de comprimento
(definição de seno em um triângulo retângulo: seno do ângulo é cateto oposto dividido pela hipotenusa).
Portanto, a área é
Assim temos a fórmula padrão
(Na mesma ideia dá para escrever
.)
Passo 3
Lei dos senos e sua forma útil com o raio do circuncírculo. Vou explicar por que vale
.
Considere o circuncentro
(centro do círculo que passa por
), de modo que
. O arco que subtende o lado
corresponde ao ângulo central
, e a propriedade geométrica diz que esse ângulo central vale o dobro do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco, ou seja
.
No triângulo isósceles
temos os lados iguais
e o lado
de comprimento
. Se traçarmos a bissetriz do ângulo
(ou seja, o segmento que vai de
ao ponto médio de
), obtemos um triângulo retângulo com hipotenusa
, ângulo agudo igual a
e cateto oposto igual a
. Pela definição do seno em triângulos retângulos:
Rearranjando,
Esse raciocínio vale ciclicamente para os outros lados, portanto a Lei dos Senos pode ser escrita como
Passo 4
Expressar
em termos de
e
e substituir na fórmula da área.
Da relação
isolamos
:
Agora substituímos essa expressão na fórmula da área obtida no Passo 2:
Fazendo as simplificações (multiplicando numerador e denominador):
Passo 5
Interpretação final e pequena verificação mental.
A fórmula ficou simétrica: qualquer escolha de ângulo leva ao mesmo resultado porque a Lei dos Senos fornece expressões equivalentes para
. Para conferir mentalmente, num triângulo equilátero de lado
tem-se
e
; substituindo na fórmula obtém-se a área conhecida
, o que é uma boa checagem rápida.
Vai dar tudo certo na prova: a ideia-chave é lembrar da fórmula
e da Lei dos Senos
, combiná-las e simplificar.