Seja
o conjunto dos polinômios reais de grau menor igual que
. Para cada um dos itens seguintes seja
o conjunto dos polinômios em
satisfazendo a condição dada. Determine se
é um subespaço de
. Se
for um subspaço calcule a dimensão de
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço vetorial
: conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a . - Define-se
como o conjunto dos polinômios em que satisfazem a condição .
O que pede o item (a):
- Determinar se
é um subespaço de . - Se for subespaço, calcular
.
Passo 2
Lembrete de critérios (passo didático): para um subconjunto
de um espaço vetorial
ser subespaço é suficiente (e necessário) verificar três propriedades:
- O vetor zero de
pertence a . -
é fechado para soma: se então . -
é fechado para multiplicação escalar: se e então .
Vou usar exatamente essas três propriedades e mostrar passo a passo que valem (ou não) para
.
Passo 3
Verificar presença do polinômio zero em
.
O polinômio zero é
para todo
. Em particular
. Logo o polinômio zero pertence a
.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam
. Por definição isso significa
e
.
Então
Então
Portanto
também satisfaz a condição e pertence a
. Assim
é fechado para soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja
e
com
. Então
Logo
. Portanto
é fechado para multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão sobre subespaço (resultado já justificado pelas três verificações acima).
Agora, para calcular a dimensão, é útil descrever explicitamente os polinômios de
. Um polinômio geral em
tem forma
com coeficientes
. A condição
é exatamente
. Portanto os elementos de
têm forma
com
arbitrários reais.
Passo 7
Exibir uma base e verificar independência e geração.
Considere o conjunto
- Geração: qualquer
pode ser escrita como combinação linear
portanto
pertence ao span(
). Assim
gera
.
- Independência linear: se
como polinômio (igualmente zero para todo
), então todos os coeficientes
são zero. Logo os vetores em
são linearmente independentes.
Portanto
é uma base de
.
Passo 8
Contagem da dimensão.
A base
tem
elementos (
até
), logo
(Alternativamente: como a aplicação linear de avaliação em
,
é linear e sobrejetora, pelo teorema do posto-nulidade
. O núcleo é exatamente
.)