Seja mathcal{P}_{n} o conjunto dos polinômios reais de grau menor igual que n. Para cada um dos itens seguintes seja S o conjunto dos polinômios em mathcal{P}_{k} satisfazendo a condição dada. Determine se S é um subespaço de mathcal{P}_{n}. Se S for um subspaço calcule a dimensão de S.
(a) p(0)=0

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial \mathcal{P}_{n}: conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a n.
  • Define-se S como o conjunto dos polinômios em \mathcal{P}_{n} que satisfazem a condição p(0)=0.
O que pede o item (a):
  • Determinar se S é um subespaço de \mathcal{P}_{n}.
  • Se for subespaço, calcular \dim S.

Passo 2

Lembrete de critérios (passo didático): para um subconjunto S de um espaço vetorial V ser subespaço é suficiente (e necessário) verificar três propriedades:
  1. O vetor zero de V pertence a S.
  2. S é fechado para soma: se p,q\in S então p+q\in S.
  3. S é fechado para multiplicação escalar: se p\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha p\in S.
Vou usar exatamente essas três propriedades e mostrar passo a passo que valem (ou não) para S.

Passo 3

Verificar presença do polinômio zero em S.
O polinômio zero é 0(x)=0 para todo x. Em particular 0(0)=0. Logo o polinômio zero pertence a S.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam p,q\in S. Por definição isso significa p(0)=0 e q(0)=0.
Então
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0.
Portanto p+q também satisfaz a condição e pertence a S. Assim S é fechado para soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja \alpha\in\mathbb{R} e p\in S com p(0)=0. Então
(\alpha p)(0)=\alpha\cdot p(0)=\alpha\cdot 0=0.
Logo \alpha p\in S. Portanto S é fechado para multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão sobre subespaço (resultado já justificado pelas três verificações acima).
Agora, para calcular a dimensão, é útil descrever explicitamente os polinômios de S. Um polinômio geral em \mathcal{P}_{n} tem forma
p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2+\cdots + a_n x^n,
com coeficientes a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}. A condição p(0)=0 é exatamente a_0=0. Portanto os elementos de S têm forma
p(x)=a_1 x + a_2 x^2+\cdots + a_n x^n,
com a_1,\dots,a_n arbitrários reais.

Passo 7

Exibir uma base e verificar independência e geração.
Considere o conjunto
\mathcal{B}=\{\,x,\, x^2,\, x^3,\,\dots,\, x^n\,\}.
  • Geração: qualquer p\in S pode ser escrita como combinação linear
p(x)=a_1 x + a_2 x^2+\cdots + a_n x^n,
portanto p pertence ao span( \mathcal{B}). Assim \mathcal{B} gera S.
  • Independência linear: se
c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n \equiv 0
como polinômio (igualmente zero para todo x), então todos os coeficientes c_1,\dots,c_n são zero. Logo os vetores em \mathcal{B} são linearmente independentes.
Portanto \mathcal{B} é uma base de S.

Passo 8

Contagem da dimensão.
A base \mathcal{B} tem n elementos ( x até x^n), logo
\dim S = n.
(Alternativamente: como a aplicação linear de avaliação em 0,
\operatorname{ev}_0:\mathcal{P}_n\to\mathbb{R},\qquad \operatorname{ev}_0(p)=p(0),
é linear e sobrejetora, pelo teorema do posto-nulidade \dim\ker(\operatorname{ev}_0)=\dim\mathcal{P}_n - 1 = (n+1)-1 = n. O núcleo é exatamente S.)

Resposta

S é um subespaço de \mathcal{P}_{n}.\newline
\dim S = n

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