Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
\begin{array}{rlr} f(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2}+1} d t & f(x)=\int_{x}^{\pi} \sqrt{1+\operatorname{sec} ^{2} t} d t \\\ f(x)=\int_{1}^{e^{2 x}} \ln t d t & f(x)=\int_{1-2 x}^{1} \frac{t^{3}}{1+t^{2}} d t \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada, usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, para cada uma das quatro funções dadas. As quatro funções são (vou numerar para ficar claro):
  1. f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt
  2. f(x)=\displaystyle\int_{x}^{\pi}\sqrt{1+\operatorname{sec}^{2}t}\,dt
  3. f(x)=\displaystyle\int_{1}^{e^{2x}}\ln t\,dt
  4. f(x)=\displaystyle\int_{1-2x}^{1}\frac{t^{3}}{1+t^{2}}\,dt
O que quero fornecer: para cada uma dessas funções, calcular f'(x). Todas as informações necessárias estão no enunciado.

Passo 2

Primeiro, uma explicação didática e passo a passo da regra que vamos usar.
Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (forma básica): se G(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} g(t)\,dt e g é contínua num intervalo que contém a e x, então
G'(x)=g(x).
Interpretação: derivar uma integral com limite superior igual a x “anula” a integral e retorna o integrando avaliado em x.
Agora a versão com limites dependentes de x. Se a integral tem limite superior u(x) (função de x) e limite inferior constante a, então, usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\int_{a}^{u(x)} g(t)\,dt\right)=g\big(u(x)\big)\,u'(x).
Se o limite inferior é uma função v(x) e o superior é constante b, então
\frac{d}{dx}\left(\int_{v(x)}^{b} g(t)\,dt\right)=-g\big(v(x)\big)\,v'(x),
pois trocar os limites muda o sinal. Em geral, se ambos limites dependem de x,
\frac{d}{dx}\left(\int_{u(x)}^{v(x)} g(t)\,dt\right)=g\big(v(x)\big)\,v'(x)-g\big(u(x)\big)\,u'(x).
Essas fórmulas seguem da combinação da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia. Aqui g deve ser contínua nas imagens dos intervalos envolvidos; u'(x) e v'(x) são as derivadas das funções-limite.

Passo 3

Aplicando a regra ao caso 1:
f(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt.
Aqui o limite superior é x e o integrando g(t)=\dfrac{1}{t^{2}+1} é contínuo para todo t. Pela forma básica do teorema,
f'(x)=\frac{1}{x^{2}+1}.
Explicando em palavras: ao derivar a integral em que o limite superior é x, basta substituir t por x no integrando.

Passo 4

Caso 2:
f(x)=\int_{x}^{\pi}\sqrt{1+\operatorname{sec}^{2}t}\,dt.
Aqui o limite inferior depende de x u(x)=x) e o limite superior é constante \pi. Usando a fórmula para limite inferior dependente,
\frac{d}{dx}\left(\int_{x}^{\pi} g(t)\,dt\right)=-g(x).
Com g(t)=\sqrt{1+\operatorname{sec}^{2}t}, temos
f'(x)=-\sqrt{1+\operatorname{sec}^{2}x}.
Comentário prático: o sinal negativo aparece porque aumentar x diminui o intervalo de integração (o ponto x avança para a direita), daí a derivada ter sinal oposto ao valor do integrando em x.

Passo 5

Caso 3:
f(x)=\int_{1}^{e^{2x}}\ln t\,dt.
Aqui o limite superior é u(x)=e^{2x}. Aplicando a regra com cadeia:
f'(x)=\ln\big(e^{2x}\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big).
Calculando as peças:
\ln\big(e^{2x}\big)=2x, \qquad \frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big)=2e^{2x}.
Multiplicando,
f'(x)=2x\cdot 2e^{2x}=4x e^{2x}.
Observação: foi usada a identidade \ln(e^{2x})=2x (válida porque e^{2x}>0) e a derivada de e^{2x} que é 2e^{2x}.

Passo 6

Caso 4:
f(x)=\int_{1-2x}^{1}\frac{t^{3}}{1+t^{2}}\,dt.
Aqui o limite inferior é v(x)=1-2x e o limite superior é constante 1. Pela regra para limite inferior variável,
f'(x)=-\frac{(1-2x)^{3}}{1+(1-2x)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(1-2x).
Calculando a derivada do limite inferior \dfrac{d}{dx}(1-2x)=-2, obtemos
f'(x)=-\frac{(1-2x)^{3}}{1+(1-2x)^{2}}\cdot(-2)=\frac{2(1-2x)^{3}}{1+(1-2x)^{2}}.
Pequena verificação mental: o duplo sinal negativo virou positivo, por isso o resultado final fica com sinal positivo.

Passo 7

Resumo rápido e ânimo: aplicamos a forma básica do Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia sempre que o limite de integração dependia de x. Nada de pânico — na prova, identifique qual limite varia (superior, inferior ou ambos) e aplique a fórmula adequada; pratique alguns exemplos e isso vira automático.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}
f'(x)=-\sqrt{1+\operatorname{sec}^{2}x}
f'(x)=4x e^{2x}
f'(x)=\dfrac{2(1-2x)^{3}}{1+(1-2x)^{2}}

Exercícios relacionados