Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada, usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, para cada uma das quatro funções dadas. As quatro funções são (vou numerar para ficar claro):
O que quero fornecer: para cada uma dessas funções, calcular
. Todas as informações necessárias estão no enunciado.
Passo 2
Primeiro, uma explicação didática e passo a passo da regra que vamos usar.
Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (forma básica): se
e
é contínua num intervalo que contém
e
, então
Interpretação: derivar uma integral com limite superior igual a
“anula” a integral e retorna o integrando avaliado em
.
Agora a versão com limites dependentes de
. Se a integral tem limite superior
(função de
) e limite inferior constante
, então, usando a regra da cadeia,
Se o limite inferior é uma função
e o superior é constante
, então
pois trocar os limites muda o sinal. Em geral, se ambos limites dependem de
,
Essas fórmulas seguem da combinação da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia. Aqui
deve ser contínua nas imagens dos intervalos envolvidos;
e
são as derivadas das funções-limite.
Passo 3
Aplicando a regra ao caso 1:
Aqui o limite superior é
e o integrando
é contínuo para todo
. Pela forma básica do teorema,
Explicando em palavras: ao derivar a integral em que o limite superior é
, basta substituir
por
no integrando.
Passo 4
Caso 2:
Aqui o limite inferior depende de
(é
) e o limite superior é constante
. Usando a fórmula para limite inferior dependente,
Com
, temos
Comentário prático: o sinal negativo aparece porque aumentar
diminui o intervalo de integração (o ponto
avança para a direita), daí a derivada ter sinal oposto ao valor do integrando em
.
Passo 5
Caso 3:
Aqui o limite superior é
. Aplicando a regra com cadeia:
Calculando as peças:
Multiplicando,
Observação: foi usada a identidade
(válida porque
) e a derivada de
que é
.
Passo 6
Caso 4:
Aqui o limite inferior é
e o limite superior é constante
. Pela regra para limite inferior variável,
Calculando a derivada do limite inferior
, obtemos
Pequena verificação mental: o duplo sinal negativo virou positivo, por isso o resultado final fica com sinal positivo.
Passo 7
Resumo rápido e ânimo: aplicamos a forma básica do Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia sempre que o limite de integração dependia de
. Nada de pânico — na prova, identifique qual limite varia (superior, inferior ou ambos) e aplique a fórmula adequada; pratique alguns exemplos e isso vira automático.