Desenhe a trajetória e descreva o movimento de uma partícula com posição (
) quando
varia no intervalo dado.
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: as equações paramétricas da posição da partícula
com
variando no intervalo
.
- Pede: desenhar a trajetória e descrever o movimento quando
percorre esse intervalo.
Passo 2
Identificar a curva geométrica (eliminar o parâmetro).
- Subtraindo o centro sugestivo, note que
- Eleve ao quadrado e some as duas igualdades:
- Conclusão: a equação cartesiana é
ou seja, é um círculo de centro
e raio
.
(Aqui a ideia usada: para qualquer
,
. As formas
representam sempre um círculo de centro
e raio
.)
Passo 3
Determinar quais pontos do círculo são percorridos pelos extremos do intervalo de
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Observação: ao aumentar
de até o ângulo polar varia por um intervalo de comprimento (180°). Logo a partícula percorre exatamente metade do círculo (um semicírculo). Pelos pontos obtidos, esse semicírculo é o semicírculo à esquerda do centro: vai do ponto superior , passa por (ponto mais à esquerda) e termina no ponto inferior .
Passo 4
Determinar a orientação (sentido) do movimento.
- No parâmetro padrão
, quando aumenta o movimento ao redor do círculo é no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido trigonométrico). - Assim, conforme
cresce de para , a partícula vai de para e depois para , ou seja, desce pelo lado esquerdo do círculo seguindo sentido anti-horário.
Passo 5
Velocidade, rapidez e tipo de movimento (útil para descrever o movimento na prova).
- Calcule as derivadas (velocidade vetorial):
- A rapidez (magnitude da velocidade) é
- Conclusão: a rapidez é constante e igual a
. Logo o movimento é uniforme ao longo do arco percorrido (movimento circular uniforme com velocidade angular radiana por unidade de , porque a relação entre rapidez linear , raio e velocidade angular é ; aqui ).
Passo 6
Como desenhar a trajetória passo a passo (instrução prática para a prova):
- Marque o centro em
. - Com raio
desenhe o círculo. - Marque os pontos notáveis que calculamos:
(topo), (esquerda), (fundo). - Desenhe apenas o semicírculo que liga
a passando por — isto é a metade esquerda do círculo. - Coloque uma seta indicando o sentido do movimento: de
para para (sentido anti-horário). - Se quiser anotar a velocidade, escreva ao lado algo como: rapidez
(movimento uniforme).
Passo 7
Resumo verbal e intuitivo (para decorar na prova):
- A partícula se move ao longo do semicírculo esquerdo do círculo de centro
e raio . - O movimento vai do ponto superior
ao ponto inferior , passando pelo ponto mais à esquerda , seguindo o sentido anti-horário. - O movimento é uniforme com rapidez
.
Resposta
Trajetória: semicírculo do círculo
, correspondente à metade esquerda que vai de
a
passando por
.
Movimento: percorre esse semicírculo no sentido anti-horário, do ponto para
, com rapidez constante
(movimento circular uniforme).
Movimento: percorre esse semicírculo no sentido anti-horário, do ponto