Desenhe a trajetória e descreva o movimento de uma partícula com posição ( x, y ) quando t varia no intervalo dado.
x=3+2 \cos t, \quad y=1+2 \operatorname{sen} t, \quad \pi / 2 \leqslant t \leqslant 3 \pi / 2.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: as equações paramétricas da posição da partícula
x=3+2\cos t,\qquad y=1+2\sin t,
com t variando no intervalo \pi/2\le t\le 3\pi/2.
  • Pede: desenhar a trajetória e descrever o movimento quando t percorre esse intervalo.

Passo 2

Identificar a curva geométrica (eliminar o parâmetro).
  • Subtraindo o centro sugestivo, note que
x-3=2\cos t,\qquad y-1=2\sin t.
  • Eleve ao quadrado e some as duas igualdades:
(x-3)^2+(y-1)^2=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2=4(\cos^2 t+\sin^2 t)=4.
  • Conclusão: a equação cartesiana é
(x-3)^2+(y-1)^2=4,
ou seja, é um círculo de centro (3,1) e raio 2.
(Aqui a ideia usada: para qualquer t, \cos^2 t+\sin^2 t=1. As formas x=x_0+R\cos t,\;y=y_0+R\sin t representam sempre um círculo de centro (x_0,y_0) e raio R.)

Passo 3

Determinar quais pontos do círculo são percorridos pelos extremos do intervalo de t.
  • Para t=\pi/2:
\cos(\pi/2)=0,\qquad \sin(\pi/2)=1 \Rightarrow (x,y)=(3,1+2)=(3,3).
  • Para t=\pi:
\cos\pi=-1,\qquad \sin\pi=0 \Rightarrow (x,y)=(3-2,1)=(1,1).
  • Para t=3\pi/2:
\cos(3\pi/2)=0,\qquad \sin(3\pi/2)=-1 \Rightarrow (x,y)=(3,1-2)=(3,-1).
  • Observação: ao aumentar t de \pi/2 até 3\pi/2 o ângulo polar t varia por um intervalo de comprimento \pi (180°). Logo a partícula percorre exatamente metade do círculo (um semicírculo). Pelos pontos obtidos, esse semicírculo é o semicírculo à esquerda do centro: vai do ponto superior (3,3), passa por (1,1) (ponto mais à esquerda) e termina no ponto inferior (3,-1).

Passo 4

Determinar a orientação (sentido) do movimento.
  • No parâmetro padrão (\cos t,\sin t), quando t aumenta o movimento ao redor do círculo é no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido trigonométrico).
  • Assim, conforme t cresce de \pi/2 para 3\pi/2, a partícula vai de (3,3) para (1,1) e depois para (3,-1), ou seja, desce pelo lado esquerdo do círculo seguindo sentido anti-horário.

Passo 5

Velocidade, rapidez e tipo de movimento (útil para descrever o movimento na prova).
  • Calcule as derivadas (velocidade vetorial):
\frac{dx}{dt}=-2\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=2\cos t.
  • A rapidez (magnitude da velocidade) é
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} =\sqrt{(-2\sin t)^2+(2\cos t)^2} =2\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}=2.
  • Conclusão: a rapidez é constante e igual a 2. Logo o movimento é uniforme ao longo do arco percorrido (movimento circular uniforme com velocidade angular 1 radiana por unidade de t, porque a relação entre rapidez linear v, raio R e velocidade angular \omega é v=R\omega; aqui 2=2\omega\Rightarrow\omega=1).

Passo 6

Como desenhar a trajetória passo a passo (instrução prática para a prova):
  1. Marque o centro em (3,1).
  2. Com raio 2 desenhe o círculo.
  3. Marque os pontos notáveis que calculamos: (3,3) (topo), (1,1) (esquerda), (3,-1) (fundo).
  4. Desenhe apenas o semicírculo que liga (3,3) a (3,-1) passando por (1,1) — isto é a metade esquerda do círculo.
  5. Coloque uma seta indicando o sentido do movimento: de (3,3) para (1,1) para (3,-1) (sentido anti-horário).
  6. Se quiser anotar a velocidade, escreva ao lado algo como: rapidez v=2 (movimento uniforme).

Passo 7

Resumo verbal e intuitivo (para decorar na prova):
  • A partícula se move ao longo do semicírculo esquerdo do círculo de centro (3,1) e raio 2.
  • O movimento vai do ponto superior (3,3) ao ponto inferior (3,-1), passando pelo ponto mais à esquerda (1,1), seguindo o sentido anti-horário.
  • O movimento é uniforme com rapidez 2.

Resposta

Trajetória: semicírculo do círculo (x-3)^2+(y-1)^2=4, correspondente à metade esquerda que vai de (3,3) a (3,-1) passando por (1,1).
Movimento: percorre esse semicírculo no sentido anti-horário, do ponto (3,3) para (3,-1), com rapidez constante 2 (movimento circular uniforme).

Exercícios relacionados