Demonstre que
e
se esses limites existirem.
Passo 1
O que o problema pede e o que se tem:
- Pedem para demonstrar duas igualdades de limites:
e
desde que esses limites existam.
- Informação implícita: existe algum número
(possivelmente diferente para cada caso) tal que um desses limites vale . A tarefa é mostrar que a existência e o valor do limite em uma variável (por exemplo ) é equivalente à existência e ao mesmo valor do limite na outra variável (por exemplo ) quando fazemos a substituição .
Passo 2
Recordando a definição precisa de limite (ferramenta que vamos usar). Vou escrever a definição de limite na forma que usaremos:
- Dizemos que
se, para todo , existe tal que
- Dizemos que
se, para todo , existe tal que
Estas são as versões
-
e
-
da definição de limite que permitem fazer um argumento rigoroso de mudança de variável.
Passo 3
Prova da primeira igualdade:
. Vou mostrar as duas implicações (cada uma com um argumento
-
).
(a) Suponha que
. Então, por definição, para todo
existe
tal que
Escolha
. Agora, se
então
, portanto
. Assim, aplicando a hipótese para
obtemos
Isto mostra que, para todo
, existe
(escolhida como
) tal que
implica
. Logo
(b) Agora suponha que
. Então, para todo
existe
tal que
Defina
. Se
então
e, invertendo,
e
; ou seja,
. Aplicando a hipótese com
resulta
Isso mostra que
. Portanto as duas afirmações são equivalentes e têm o mesmo valor
.
Passo 4
Comentário didático curto sobre a ideia usada (para fixar): a transformação
é uma bijeção entre valores grandes positivos de
(
) e valores positivos pequenos de
(
). A prova rigorosa apenas traduz o quantificador “para
suficientemente grande” em “para
suficientemente pequeno” usando a relação
e a reciprocidade
.
Passo 5
Prova da segunda igualdade:
. A argumentação é completamente análoga, cuidando só do sinal.
(a) Suponha
. Então, para todo
existe
tal que
Escolha
. Se
então
é negativo e
, logo
(pois ao inverter um número negativo pequeno obtemos um número negativo de grande magnitude). Assim,
o que prova que
.
(b) Recíproco: suponha
. Então para todo
existe
tal que
Defina
. Se
então
é negativo e
, isto é,
. Aplicando a hipótese com
obtemos
logo
.
Passo 6
Exemplo simples para intuir: se
então
e
tem
. Para o lado negativo,
também satisfaz
e corresponde a
. Isso mostra a correspondência na prática.