Demonstre que
\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f(1 / t)
e
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{t \rightarrow 0^{-}} f(1 / t)
se esses limites existirem.

Passo 1

O que o problema pede e o que se tem:
  • Pedem para demonstrar duas igualdades de limites:
\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)
e
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{t\to 0^{-}} f(1/t),
desde que esses limites existam.
  • Informação implícita: existe algum número L (possivelmente diferente para cada caso) tal que um desses limites vale L. A tarefa é mostrar que a existência e o valor do limite em uma variável (por exemplo x\to\infty) é equivalente à existência e ao mesmo valor do limite na outra variável (por exemplo t\to 0^{+}) quando fazemos a substituição t=1/x.

Passo 2

Recordando a definição precisa de limite (ferramenta que vamos usar). Vou escrever a definição de limite na forma que usaremos:
  • Dizemos que \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe M>0 tal que
x>M \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Dizemos que \displaystyle\lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<t<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(1/t)-L|<\varepsilon.
Estas são as versões \varepsilon- M e \varepsilon- \delta da definição de limite que permitem fazer um argumento rigoroso de mudança de variável.

Passo 3

Prova da primeira igualdade: \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{t\to 0^{+}} f(1/t). Vou mostrar as duas implicações (cada uma com um argumento \varepsilon- \cdot).
(a) Suponha que \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=L. Então, por definição, para todo \varepsilon>0 existe M>0 tal que
x>M \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
Escolha \delta=1/M. Agora, se 0<t<\delta então t<1/M, portanto 1/t> M. Assim, aplicando a hipótese para x=1/t obtemos
0<t<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(1/t)-L|<\varepsilon.
Isto mostra que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 (escolhida como 1/M) tal que 0<t<\delta implica |f(1/t)-L|<\varepsilon. Logo
\lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)=L.
(b) Agora suponha que \displaystyle\lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)=L. Então, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<t<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(1/t)-L|<\varepsilon.
Defina M=1/\delta. Se x>M então x>1/\delta e, invertendo, 1/x<\delta e 1/x>0; ou seja, 0<1/x<\delta. Aplicando a hipótese com t=1/x resulta
x>M \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
Isso mostra que \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=L. Portanto as duas afirmações são equivalentes e têm o mesmo valor L.

Passo 4

Comentário didático curto sobre a ideia usada (para fixar): a transformação t=1/x é uma bijeção entre valores grandes positivos de x ( x\to\infty) e valores positivos pequenos de t ( t\to 0^{+}). A prova rigorosa apenas traduz o quantificador “para x suficientemente grande” em “para t suficientemente pequeno” usando a relação t=1/x e a reciprocidade 1/(1/M)=M.

Passo 5

Prova da segunda igualdade: \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{t\to 0^{-}} f(1/t). A argumentação é completamente análoga, cuidando só do sinal.
(a) Suponha \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=L. Então, para todo \varepsilon>0 existe M>0 tal que
x<-M \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
Escolha \delta=1/M. Se -\delta<t<0 então t é negativo e |t|<\delta, logo 1/t<-M (pois ao inverter um número negativo pequeno obtemos um número negativo de grande magnitude). Assim,
-\delta<t<0 \quad\Rightarrow\quad |f(1/t)-L|<\varepsilon,
o que prova que \displaystyle\lim_{t\to 0^{-}} f(1/t)=L.
(b) Recíproco: suponha \displaystyle\lim_{t\to 0^{-}} f(1/t)=L. Então para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
-\delta<t<0 \quad\Rightarrow\quad |f(1/t)-L|<\varepsilon.
Defina M=1/\delta. Se x<-M então 1/x é negativo e |1/x|<\delta, isto é, -\delta<1/x<0. Aplicando a hipótese com t=1/x obtemos
x<-M \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon,
logo \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=L.

Passo 6

Exemplo simples para intuir: se f(x)=1/x então \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=0 e f(1/t)=t tem \displaystyle\lim_{t\to 0^{+}} t=0. Para o lado negativo, f(1/t)=t também satisfaz \displaystyle\lim_{t\to 0^{-}} t=0 e corresponde a \lim_{x\to -\infty} 1/x=0. Isso mostra a correspondência na prática.

Resposta

\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{t\to 0^{-}} f(1/t)

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